Por supuesto que debe tener la dimensión de $2n$.
Pero más condiciones?
Por ejemplo, puede que un género-2 de superficie a ser el espacio de fase de un Hamiltoniano del sistema?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La biblia para la formulación matemática de la Mecánica clásica, a saber, los Fundamentos de la Mecánica por Abraham y Marsden, define un hamiltoniano del sistema como un triple $(M, \omega, X_H)$ donde $(M, \omega)$ es un simpléctica colector, y $X_H$ es el campo de vectores Hamiltoniano correspondiente a una función hamiltoniana $H:M\to\mathbb R$.
Ahora, hay normalmente ningún tipo de restricciones, incluyendo tal vez topológico, colocado en $M$? Así, Abraham y Marsden incluyen algunas que son bastante estándar:
- $M$ es hausdorff
- $M$ es segundo contable
- $M$ es diferenciable
Aparte de estas restricciones, los autores (y sospecho que esta es la norma) no colocar más restricciones en $M$. En particular, no hay ninguna razón por qué usted no puede considerar un colector $M$ arbitrarias género.
Nota. Como se ha señalado por el usuario ACuriousMind y otros, hay toplogical complicaciones por el hecho de que sólo ciertas colectores de admitir simpléctica estructuras, de modo que usted no puede escoger a cualquier edad (especialmente de dimensiones superiores) colector y tiene usted mismo un feliz tiempo.
Sin embargo, observe que en el caso de $2$-colectores, existen superficies de alto de manera arbitraria género que admitir simpléctica estructuras debido a la siguiente secuencia de hechos:
- Cada liso, orientable $n$-colector admite un suave, no desapareciendo volumen $n$-forma.
- Por lo tanto, cada suave, orientable $2$-colector admite un suave, no desapareciendo $2$-forma, que también es no degenerada.
- Esta $2$-está cerrado debido a su exterior derivado es un $3$-formulario que debe desaparecer en la dimensión $2$.
Tomemos, por ejemplo, cualquier $n$veces toro, cada uno de estos chicos es un suave, orientable $2$-colector que, por tanto, admite una estructura simpléctica, y el género de cada uno de ellos es $n$. El $3$veces toro se muestra a continuación
Sora
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113
El espacio de fase es un simpléctica colector, por lo que cualquier colector $\mathcal{M}$ que admite un cerrado degenerada 2-la forma es un posible espacio de fase.
Ahora, lo que es necesario (o suficiente) para la admisión de tal forma?
En primer lugar, como usted menciona, $\mathcal{M}$ debe ser de dimensiones.
Segundo, $\mathcal{M}$ debe ser orientable. Por qué? Porque orientability es equivalente a la existencia de un no-degenerada forma de volumen, y la n-veces cuña producto de la forma simpléctica $\omega$ siempre proporcionará un formulario, por lo que no orientable colectores están fuera. (Esto también puede ser expresado como el requisito de que la parte superior deRham cohomology no desaparece)
En tercer lugar, si $\mathcal{M}$ es compacto, debe tener también la no-desaparición de segunda deRham cohomology, por lo que hay formas cerradas que no son exactos, de que la forma simpléctica es uno. Por qué? Porque de fuga cohomology de la clase de la forma simpléctica implicaría la desaparición de cohomology de la inducida por la forma de volumen, que no puede ser.
(Puede ser que la compacidad (debido a su relación con el "finito" volumen) también es necesario para mi segundo punto, no estoy 100% seguro de que)
En este, he asumido, como hacen algunos, que el término colector ya significa una Hausdorff, segundo contables espacio. Yo no sé nada acerca de si la falta de Hausdorff o no segunda contables espacios localmente diffeomorphic a $\mathbb{R}^n$ también puede ser simpléctica.
Tim Harding
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145
Hacia dentro enriquece y Berry [Physica 1D, 495-512 (1981)] dar bellos ejemplos de tales sistemas (con el espacio de la fase que se trata de una superficie de género > 1), a la que llaman pseudointegrable; sus ejemplos son invariantes colectores de billar en forma de polígonos con racional de los ángulos. Estos sistemas son interesantes debido a que existen dos constantes de movimiento, de modo invariante colectores son de dos dimensiones, pero que no se comportan como sistemas integrables, cuya invariante colectores se tori (es decir, género-1). El ejemplo más sencillo es un rombo de billar con dos internos ángulos de 120 grados y dos de 60 grados. Sus invariantes colectores son exactamente género-2 superficies. La razón por la que Arnold teorema (alegando que invariante colectores de D-dimensional sistemas Hamiltonianos con D constantes de movimiento D-dimensional tori) no se puede utilizar es debido a la suposición de que dos liso campos vectoriales pueden ser construidos a partir de las dos constantes de movimiento se descompone. (Los campos vectoriales tienen singularidades en las esquinas.) Me ha gustado mucho las respuestas anteriores por JoshPhysics y ACuriousMind.
