Supongo que mucho de lo que constituye la "Ecuación de Friedmann(s)" está justo arriba de las definiciones. Sin embargo, con las 3 ecuaciones que figuran, habrá redundancia.
Aquí es el normal de derivación yo suelo ver (sentir libre para saltar los dos primeros párrafos si usted no está familiarizado con los tensores/GR):
Dado einstien la ecuación en la forma $R_{\mu\nu}=-8 \pi G S_{\mu \nu}$, (donde $S_{\mu \nu}$ está relacionado con la tensión tensor de energía por $S_{\mu \nu}=T_{\mu \nu} - \frac{1}{2}g_{\mu \nu}T^\lambda_\lambda$) y con un poco jugando con la distribución espacial de la porción de los Robertson Walker Métrica (ver Weinburg Cosmología), podemos obtener un Tensor de Riemann $R_{ij}=\tilde{R}_{ij}-2\dot{a}^2 \tilde{g}_{ij}-a\ddot{a}\tilde{g}_{ij}$ (tilde significa que el espacio métrico y del tensor de curvatura) a $R_{ij}=-[2K+2\dot{a}^2+a\ddot{a}]\tilde{g}_{ij}$ (donde $K$ es la curvatura constante (-1,0,+1)).
Nosotros, a continuación, decidir sobre una tensión tensor de energía, el uso de los principios de homogeneidad y la isotropía (no queremos que haya alguna extraña asimetría), para conseguir uno de la forma $T_{00}=\rho$, $T_{i0}=0$, y $T_{ij}=a^2p\tilde{g}_{ij}$. Lo que nos da $S_{ij}=\frac{1}{2}(\rho-p)a^2\tilde{g}_{ij}$$S_{00}=\frac{1}{2}(\rho+3p)$.
El uso de todo esto, volver a conectar en el EFEs, se obtienen dos ecuaciones (uno para i=j=0, y otro para el resto):
(1) $-\frac{2K}{a^2}-2\frac{2\dot{a}^2}{a^2}-\frac{\ddot{a}}{a}=-4\pi G (\rho - p)$
(2) $\frac{3\ddot{a}}{a}=-4\pi G(3p+\rho)$
Luego, hacer que la primera ecuación es sorta difícil de manejar, podemos agregar tres veces la primera ecuación a la segunda para obtener el mejor (y más familiar):
(3) $\dot{a}^2+K=\frac{8}{3}\pi G a^2$
También se puede obtener la siguiente ecuación de (1) y (2):
(4) $\dot{\rho}=-\frac{3\dot{a}}{a}(\rho + p)$
Que es realmente ninguna sorpresa, ya que esta ley de la conservación se encuentra en la solución del EFEs.
Así que en realidad lo ecuaciones decide llamar el "Friedman Ecuaciones" es a lo que estás haciendo. (1) y (2) son las consecuencias directas de la derivación, que luego se puede utilizar para derivar (3) y (4). Simplemente resulta para la mayoría de la cosmología de los cálculos, no queremos usar (1), y la última 3 ((2)(3)(4)) son más útiles. Sin embargo, habrá redundancia dentro de estas 3 ecuaciones (después de todo, ellos vinieron de tan sólo dos ecuaciones)!
EDIT: Sólo para uso de la OPs pregunta:
Deja la toma (2) y (4):
(2) $\frac{3\ddot{a}}{a}=-4\pi G(3p+\rho)$
(4) $\dot{\rho}=-\frac{3\dot{a}}{a}(\rho + p)$
Permite multiplicar (2) por $\frac{2a\dot{a}}{3}$.
$\frac{2a\dot{a}}{3}[\frac{3\ddot{a}}{a}]=\frac{2a\dot{a}}{3}[-4\pi G(3p+\rho)] => 2\dot{a}\ddot{a}=-\frac{8}{3}\pi G(3p a\dot{a} + \rho a\dot{a})$
Algunos complicado álgebra aquí:
$=>2\dot{a}\ddot{a} = \frac{8}{3}\pi G(-3 a\dot{a}(\rho+p) + 2\rho a\dot{a})$
Ahora sustituimos en la conservación de la ecuación de la energía.
(5) $2\dot{a}\ddot{a} = -\frac{8}{3}\pi G(\dot{\rho}a^2+2\rho a \dot{a})$
Pero hey! Esto se ve parecida a lo que se obtendría si se diferencia la Ecuación de Friedmann (3), tenga en cuenta que $K$ no es dependiente del tiempo (si lo fuera, eso sería una locura!). Desde su integración en lugar de diferenciar tendrá las constantes de integración, pero que pueden empate que en el $K$ plazo (que es una sorta manera interesante a la vista de lo $K$ medio).
EDIT: Hacer un proceso similar le mostrará una manera de obtener (4) para comenzar con.
