$ \lim_\limits{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1}-x) $ = $ \frac{1}{2}$ ?

Question

¿Cómo puede demostrar que $$ \lim_\limits{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1}-x) = \frac{1}{2} \text{ ?}$$

No encuentro la manera de calcular esto.

Esta es una idea : $$ \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1}-x) \approx \lim_\limits{x \to \infty} x(\sqrt{x^2}-x) = 0 $$ pero eso es un error.

Answer 1

Una pista: Esta es otra idea $$\lim_{x \to \infty} \frac{x (x^2 +1 - x^2)}{\sqrt{x^2 +1} + x} =\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 +1} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 +\frac{1}{x^2}} + 1} = \ldots$$