Dilatación del tiempo gravitacional en el centro de la tierra.

Question

Me gustaría saber qué pasa con la dilatación del tiempo (en relación a la superficie) en el centro de la tierra .

Hay una manera de calcular?

Es tiempo de ir más rápido en el centro de la tierra?

He hecho otras preguntas acerca de este tema y las respuestas que se refiere a:

$\Delta\Phi$ (diferencia de potencial gravitacional Newtoniano entre los lugares) como directamente relacionados, pero creo que los que la ecuación no puede ser aplicado a este debido a que fueron derivados por el vecinity de una misa, pero no dentro de él.

Alguna pista? Gracias

Answer 1

La regla que he mencionado en otra pregunta, que la dilatación del tiempo es el factor de $1+\Delta\Phi/c^2$, se aplica aquí. La derivación (que se encuentra en varios libros de texto) sólo depende de la hipótesis de que los campos son débiles y la materia es nonrelativistic, ambos de los cuales son verdaderas para la Tierra.

El modelado de la Tierra como un uniforme de la densidad de la esfera (no es cierto, por supuesto, pero no me importa), nos encontramos con que $g(r)=GMr/R^3$ donde $R$ es el radio de la Tierra. Así $$ \Delta\Phi={GM\más de R^3}\int_0^Rr\,dr={GM\sobre 2R}. $$ Eso significa que $$ {\Delta\Phi\sobre c^2}={GM\más de 2Rc^2}={1\over 4}{R_s\sobre R}. $$ Aquí $R_s=2GM/c^2$ es el radio de Schwarzschild correspondiente a la masa terrestre. Numéricamente, $R_s$ es de alrededor de 9 mm, y $R$ es de alrededor de 6400 km, por lo $\Delta\Phi/c^2=3\times 10^{-10}$.

El signo del efecto es que los relojes de la garrapata más lento cuando están más profundamente en el potencial de bien. Es decir, un reloj en la superficie de la Tierra garrapatas 1.0000000003 veces más rápido que uno en el centro.

Answer 2

Queridos HDE, no es difícil estimar el potencial gravitacional en el centro de la Tierra. Por supuesto, es suave. Permítanme asumir que la Tierra es la densidad de masa es uniforme, el cual es un ACEPTAR estimación - hasta factores de dos o así.

La aceleración de la gravedad a una distancia $R$ desde el centro es $GM/R^2$ si $R$ es mayor que el radio de la Tierra $R_E$. Sin embargo, para los más pequeños los valores de $R$, usted tiene que utilizar la ley de Gauss $$\int d\vec S\cdot \vec g \sim GM_{inside}$$ y determinar la masa total dentro de una pequeña esfera. Debido a $M_{inside}$ es $R^3$$R<R_E$, y esto $R^3$ todavía está dividido por $R^2$$\int d\vec S$, se deduce que la aceleración de la gravedad en el interior de la Tierra es prácticamente proporcional a $R$: $$ g(R) = g(R_E)\cdot \frac{R}{R_E} $$ En particular, la aceleración de la gravedad en el centro de la Tierra es cero y cerca del centro, una partícula que podría oscilar como en un oscilador armónico, $\vec F\sim -k\vec x$.

También es trivial calcular el extra disminución del potencial gravitatoria se obtiene si se ve desde la superficie hasta el centro. En la superficie, el potencial gravitacional es $-GM/R_E$, como usted sabe, porque la derivada de $-GM/R$ $R$ da el derecho de aceleración. Sin embargo, el potencial es aún más negativo. Si integramos $g(R_E)\cdot R/R_E$$R$$0$$R_E$, obtendrá $g(R_E) R_E/2$. Esto tiene que ser tomado con signo negativo.

Así que el potencial en el centro, asumiendo la homogeneidad, es $$ \Phi = -\frac{GM}{R_E} - g(R_E) \frac{R_E}{2} = -\frac 32 \frac{GM}{R_E} = -\frac 32 g(R_E) R_E $$ Este potencial gravitatoria determina la ralentización del tiempo, demasiado. En unidades SI, $g(R_E)=10$ Newtons por metro y $R_E=6,378,000$. El producto, con el $3/2$ factor añadido, es casi exactamente $10^{8}$. Se Divide por $c^2=10^{17}$ obtener $10^{-9}$ - el relativo desplazamiento al rojo desde el centro de la Tierra hasta el infinito.

Si pasar de 1 mil millones de años en el centro de la Tierra, su hermano gemelo fuera del campo gravitacional obtendrá 1 mil millones de dólares y un años de edad. Si se desea, se puede interpretar diciendo que es saludable para vivir en el centro de la Tierra. La buena suerte.

Answer 3

El CENTRO de la tierra no tiene más gravedad, pero menos. Esto es debido a que la mitad de la masa va a estar "por encima de" la mitad "de abajo" ( Independientemente de la orientación)...algo menos de g y en diferente dirección y vectores. La cosa es que la masa no se concentra en un punto en el centro con más y más g a medida que uno se mueve más cerca del centro. Como usted túnel hacia abajo, un poco de la masa, más y más estaría detrás de usted). Más de la dilatación del tiempo en la superficie... Donde g es la más fuerte. El tiempo no sería más lento en el centro de la tierra.