Suavidad del grupo de Picard de una curva suave

Question

Sea $X$ sea una curva proyectiva suave sobre $k=\bar{k}$ y denotamos su grupo de Picard por $\operatorname{Pic}(X)$ con la estructura de esquema habitual procedente de la representabilidad del functor Picard relativo.

Es bien sabido que $\operatorname{Pic}(X)$ es suave de dimensión $g$ en todas partes en el caso de la característica $0$ .

Para característica positiva, Igusa y Serre construyeron ejemplos de lisos superficies que presentan grupos de Picard singulares.

¿Qué se puede decir de las curvas suaves en característica positiva? ¿Es siempre suave el grupo de Picard?

Answer 1

El grupo de Picard se divide como el producto de $\mathbb{Z}$ y la variedad jacobiana de $X$ por lo que cada componente conexo de $\mbox{Pic}(X)$ es (no canónicamente) isomorfo al jacobiano de $X$ que es suave.

Edita: Para ver que el grupo de Picard se divide, considere la secuencia exacta $$0\to\mbox{Pic}^0(X)\to\mbox{Pic}(X)\stackrel{\deg}{\to}\mathbb{Z}\to0$$ donde $\mbox{Pic}^0(X)=\{\mathcal{O}_X(D):\deg(D)=0\}$ . Esta secuencia se divide ya que si $p_0\in X$ tenemos una sección $\mathbb{Z}\to\mbox{Pic}(X)$ donde $m\mapsto\mathcal{O}_X(mp_0)$ . Es bien sabido (y la mayoría de las veces se define así) que el jacobiano de $X$ es isomorfo a $\mbox{Pic}^0(X)$ .