Inyectividad del homomorfismo inducido por la cubierta de dos hojas desde$S_3$ a$S_2$

Question

Soy consciente de la prueba de que una transformación de cobertura$f: X \to Y$ induce un homomorfismo inyectivo$f_*:\pi_1(X)\to \pi_1(Y)$. Por lo tanto, la cubierta de dos hojas$f:S_3 \to S_2$ (donde$S_g$ denota el género$g$ de la superficie) debe inducir un homomorfismo inyectivo$f_*: \pi_1(S_3)\to \pi_1 (S_2)$. Encuentro esto contraintuitivo. Entonces, me gustaría entender este homomorfismo explícitamente. De hecho, si puedes construir cualquier homomorfismo de$\pi_1(S_3)$ a$\pi_1 (S_2)$, eso también haría.

Gracias por adelantado.

Answer 1

Una manera fácil de visualizar este mapa es la siguiente: creo $S_3$ acostado en $\mathbb R^3$ con un agujero en positivo $x$-eje de un orificio en el negativo $x$-eje y el centro del agujero del centro es el origen. Luego piensa en un ángulo de $\pi$ rotación de $xy$plano con respecto a $z$-eje. A continuación, este mapa va a inducir una cubierta de transformación de orden 2 en $S_3$. A continuación, se puede visualizar el mapa de $f_*$.

La descripción explícita de este mapa es :

$\pi_1(S_3)= \langle a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3| [a_1,b_1][a_2,b_2][a_3,b_3]=1\rangle$ y

$\pi_1(S_2)= \langle e_1,e_2,f_1,f_2|[e_1,f_1][e_2,f_2]=1 \rangle$.

Considere la posibilidad de un mapa de $f_*: \pi_1(S_3)\to \pi_1(S_2)$

$a_1\mapsto e_1; b_1 \mapsto f_1; a_2\mapsto e_2 ; b_2\mapsto f_2^2 ; a_3 \mapsto ge_1g^{-1}; b_3\mapsto gf_1g^{-1} $ [$g$ se describe en la imagen]

Aquí $f_*$ es un bien definidos inyectiva.