Demostrando que $4b^2+4b = a^2+a$ no tiene soluciones enteras no nulas?

Question

El problema es

Demuestra que $4b^2+4b = a^2+a$ no tiene soluciones enteras donde ninguna de $a, b$ son cero.

Tengo una solución, pero creo que debe haber alguna forma mejor:

Mi solución:

$$4b^2+4b = a^2+a$$

$$(2b+a)(2b-a)+4b-a= 0$$

Dejando ahora $x = 2b + a$ y $y = 2b-a$ vemos que $x+y = 4b$ . Sustituyendo,

$$xy+\dfrac {x+y}{2}+y=0$$

$$2xy+x+3y=0$$

De ello se desprende que $y|x$ , por lo que podemos sustituir $x = ky$ para algún número entero $k$

$2ky^2+ky+3y = 0$

$$k = \dfrac {3}{2y+1}$$

De aquí se desprende que $y \in \{-2, -1 , 1 \}$ y cada uno de los casos puede ser comprobado individualmente.

Answer 1

Multiplicar por $4$ y completar el cuadrado en ambos lados. Esto da como resultado

$(4b+2)^2-4=(2a+1)^2-1$

$(4b+2)^2-(2a+1)^2=3$

¿Cuáles son los dos únicos cuadrados que difieren exactamente en $3$ ?

Answer 2

El lado izquierdo se ve casi como $(2b+1)^2$ , añadiendo de hecho $1$ podemos escribir $(2b+1)^2=a^2+a+1$ . Se sabe que el lado derecho puede ser un cuadrado perfecto sólo en pocos casos - véase Valor integral de $n$ que hace $n^2+n+1$ un cuadrado perfecto.

En concreto, cuando $a>0$ El lado derecho se encuentra entre dos casillas consecutivas: $a^2<a^2+a+1<(a+1)^2,$ por lo que no puede ser ella misma un cuadrado. De manera similar para $a<-1$ tenemos $(a+1)^2< a^2+a+1 < a^2$ El mismo razonamiento se aplica. Así que sólo queda comprobar $a=-1$ .

Answer 3

Hmmm...

Demuestra que $4b^2 + 4b = a^2 + a$ no tiene soluciones enteras donde ninguna de $x, y$ son cero.

¿Dónde? $x$ y $y$ ¿de dónde viene? ¿Se trata de lo siguiente?

Demuestra que $4b^2 + 4b = a^2 + a$ no tiene soluciones enteras donde ninguna de $a, b$ son cero.

Procederé en la línea de esto último. Claramente $a$ debe ser par, porque si es impar entonces $a^2 + a$ es individualmente par pero $4b^2 + 4b$ es claramente doblemente par. Por lo tanto, con $a$ incluso, se deduce que $$\frac{a^2 + a}{4}$$ es un número entero, por lo que la ecuación puede reformularse como $$\frac{a^2 + a}{4} = b^2 + b.$$ Por lo tanto, $\sqrt{a^2 + a} = 2 \sqrt{b^2 + b}$ . El problema es que esto requiere tanto $\sqrt{a^2 + a}$ y $\sqrt{b^2 + b}$ para ser enteros.

Vale, lo siento, esto parece ser mucho más complicado que lo que tienes...

Answer 4

Una versión variada de la respuesta de @Oscar Lanzi:

Reescribir la ecuación $$a^2+a-(4b^2+4b)=0$$ $$\Delta=1+4(4b^2+4b)=(4b+2)^2-3\overset{def}{\equiv} K^2-3$$

Si $a$ es un número entero, entonces existe algún número entero $M$ tal que $\Delta=M^2$ .

$$K^2-3=M^2\iff K^2-M^2=3$$

Así que sólo habrá un conjunto de $(K,M)$ o $(a,b)$ .