Intentando resolver un pequeño ejemplo sobre integración por partes, y ocurre una cosa rara: Llego a una expresión original aumentada en uno. ¡Por favor, ayúdenme a descubrir dónde está el fallo!
La tarea consiste en calcular la siguiente integral indefinida: $$ \int\tan^{-1}x\text{d}x $$
Fórmula de integración por partes (por si acaso): $$ \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\text{d}x $$
Ampliemos nuestra integral original: $$ \int\tan^{-1}x\text{d}x = \int\cos x \sin^{-1}x\text{d}x $$
Si $$ f(x) = \sin^{-1}x $$ $$ g'(x) = \cos x $$ entonces $$ f'(x) = -\sin^{-2}x\cos x $$ $$ g(x) = \sin x $$
Aplicando la fórmula de integración por partes: $$ \int\cos x \sin^{-1}x\text{d}x = \sin^{-1}x\sin x - \int-\sin^{-2}x\cos x\sin x\text{d}x = 1 + \int\tan^{-1}x\text{d}x $$
Entonces, ¿en qué me he equivocado?
