Propiedades de los grupos algebraicos

Question

Dejemos que $G(X_1, \cdots, X_n) \subseteq GL(V)$ denota el grupo algebraico más pequeño que contiene $\{X_i\}_{i=1}^{n} \subseteq GL(V)$ , donde $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb{C}$ .

Dejemos que $S$ sea una matriz semisimple, y $U$ una matriz unipotente (sobre $V$ ). Se sabe que $G(S)$ es un cuasitorio (isomorfo a un producto de $(K^{\times})^{n}$ con un grupo finito), y en particular un grupo conmutativo. De manera similar, $G(U)$ es isomorfo a $(K^{m}, +)$ y, en particular, también conmutativa.

Supongamos que $S,U$ de viaje.

1. ¿Por qué es $G(S,U)$ ¿conmutativo?

2. ¿Por qué es igual a $G(S)G(U)=\{su | s\in G(S), u \in G(U) \}$ ?

Dejemos que $R:G \to GL(U)$ sea alguna representación lineal de un grupo algebraico $G$ . Utilizando la notación de las preguntas anteriores,

1. ¿Por qué es cierto que $R(G(A))=G(R(A))$ para cualquier $A\in G$ ?

Estas preguntas se basan en afirmaciones intuitivas que se encuentran en "Lie Groups and Algebraic Groups" de Onishchik y Vinberg. No estoy seguro de cómo demostrarlas formalmente.

Answer 1

La clave de mis preguntas fue el maravilloso libro "Linear Algebraic Groups" de Armand Borel (concretamente, la página 57).

Primero, un lema (1 de 2): si $M$ es un subgrupo (no necesariamente algebraico) de un grupo algebraico $G$ entonces $G(M) = \overline{M}$ (el cierre es en la topología de Zariski). Prueba del lema 1: $G(M)$ está cerrado por lo que contiene $\overline{M}$ . $\overline{M}$ es un grupo: contiene la identidad ya que $M$ lo hace. Contiene la inversa de cada elemento ya que $x \to x^{-1}$ es un homeomorfismo en el gran grupo $G$ que muestra $\overline{H}^{-1} = \overline{H^{-1}} = \overline{H}$ . Y está cerrado bajo productos: $x \in H \implies x\overline{H} = \overline{xH} = \overline{H} \implies H\overline{H} = \overline{H}$ . Tenemos que mostrar $\overline{H}\overline{H} \subseteq\overline{H}$ Así que toma $y\in \overline{H}$ . Tenemos $Hy\subseteq \overline{H} \implies \overline{H}y=\overline{Hy}\subseteq \overline{H} \implies \overline{H}\overline{H} \subseteq \overline{H}$ . $\blacksquare$

• Preguntas 1+2:

Primero mostraré que $G(U), G(S)$ de viaje. Los grupos abstractos generados por $U$ y $S$ , $\langle U \rangle = \{ U^k | k \in \mathbb{Z} \}$ , $\langle S \rangle = \{ S^k | k \in \mathbb{Z} \}$ conmutar desde $U,S$ conmutan (quiero decir que el grupo conmutador $(\langle U \rangle, \langle S \rangle)$ es trivial). Se deduce del siguiente lema, aplicado a $M=\langle U \rangle, N= \langle S \rangle$ que $G(S),G(U)$ de viaje:

Lema 2: Si $M,N\subseteq G$ son subgrupos de $G$ entonces el subgrupo conmutador $(M,N),(\overline{M},\overline{N})$ tienen el mismo cierre. (En nuestro caso, $(M,N)={e}$ que ya está cerrado). Prueba del lema: Consideremos el homomorfismo algebraico $c:G\times G \to G$ definido como $c(x,y)=xyx^{-1}y^{-1}$ . $M \times N$ es denso en $\overline{M} \times \overline{N}$ Así que $c(M \times N)$ es denso en $c(\overline{M} \times \overline{N})$ que a su vez muestra $G(c(M \times N)) = G(c(\overline{M} \times \overline{N}))$ . Pero por el lema 1, esos 2 grupos son los cierres de $c(M \times N), c(\overline{M}, \overline{N})$ . $\blacksquare$

El hecho de que $G(S)$ y $G(U)$ muestra que el mapa $(s,u) \to (su)$ de $G(S) \times G(U) \to G$ es efectivamente un homomorfismo, y la imagen de un homomorfismo es también un grupo algebraico (hecho bien conocido), por lo que $G(S)G(U)$ es un subgrupo.

Así que $G(S)G(U)$ es un grupo algebraico conmutativo, y contiene $S,U$ y es evidente que es el grupo mínimo que contiene a ambos $S,U$ . Así que $G(S,U)=G(S)G(U)$ y hemos terminado.

• Pregunta 3:

Una dirección es trivial: $R(G(A))$ contiene $R(A)$ y es un grupo algebraico, por lo que debe contener el menor grupo algebraico que contenga $R(A)$ que es $G(R(A))$ por definición.

La segunda inclusión es la siguiente: $R^{-1}(R(G(A))$ es cerrado (como la preimagen de un conjunto cerrado por una función continua), y contiene $A$ por lo que debe contener $G(A)$ - el menor subgrupo algebraico que contiene $A$ y así: $R(G(A)) \subseteq R(R^{-1}(R(G(A)))) \subseteq R(G(A))$ .

Nota: la igualdad más general $R(G(M))=G(R(M))$ cuando $M$ es cualquier subconjunto de $G$ con la misma prueba.