Creo entender el problema ahora. En este contexto, no podemos decir que $\log(A)+\log(B)$ es igual a $\log(AB)$. Este (en general) invalida su intercambio de una infinita suma de infinidad de productos. Pero siga leyendo hasta el final para ver una solución.
Vamos a escribir $\log$ por el principio ramificada logaritmo, y $\operatorname{lug}$ para un potencialmente diferentes ramificada logaritmo. Fijo $A$$B$, no es algo de $\operatorname{lug}$ que $$\log(A)+\log(B)=\operatorname{lug}(AB)$$ pero podría tener una rama diferente.
Considere la posibilidad de $A=B=\exp(i3\pi/4)$. Entonces
$$\begin{align}\log(A)+\log(B)&=i3\pi/4+i3\pi/4\\&=i3\pi/2\end{align}$$ But this addition has crossed over the negative real axis in an angular sense. So $\log(AB)$ is something different: $$\log(AB)=\log(\exp(i3\pi/2))=-i\pi/2$$
Así que no es exactamente de que algunos valores de $a$ causa de un problema con su primera línea, sino más bien con su segunda línea. Si $a$ es lo suficientemente pequeño tal que la suma infinita en la primera línea nunca supera $\pi i$, entonces el resultado final debe ACEPTAR. Para otros $a$, se quiere encontrar la cantidad de veces que se suma cruzó la negativa de reales en un angular sentido, y cuenta para muchos múltiplos de $2\pi i$.
$\operatorname{Arg}$ es discontinua en a $x+iy$ negativos $x$$y=0$. Las discontinuidades en $\operatorname{Arg}$ en la línea final se corresponden a los valores de $a$ cuando la suma original pasa $\pi$, $3\pi$, etc. Así que vamos a resolver para cuando la parte imaginaria de la entrada a $\operatorname{Arg}$ en la línea final es igual a cero.
$$\begin{align}
\sin(\pi a)\cosh(\pi a)−\cos(\pi a)\sinh(\pi a) & = 0\\
\sin(\pi a)\cosh(\pi a)&=\cos(\pi a)\sinh(\pi a)\\
\tan(\pi a)&=\tanh(\pi a)
\end{align}
$$
Las soluciones positivas a esta ecuación se puede resolver numéricamente: $a\approx1.249\ldots,2.249\ldots,3.250\ldots,4.25\ldots$. Sólo uno de cada solución que en realidad corresponde a una discontinuidad en $\operatorname{Arg}$, ya que también requieren de la parte real de la entrada a $\operatorname{Arg}$ en la línea final a ser negativo.
Para redondear un poco, su resultado es válido como es de $|a|<a_0=1.25$. Después de eso, podemos contar cuántas veces la cantidad original ha pasado $\pi$, $3\pi$, $5\pi$, $\ldots$ con $\left\lceil\frac{a-a_0}{2}\right\rceil$. Así que de su resultado, vamos a agregar $2\pi\left\lceil\frac{a-a_0}{2}\right\rceil$. Por supuesto, ha habido algunos redondeo aquí, así que esto no será siempre el adecuado para los valores de $a$ muy cerca de la crítica de $a$ valores $\approx 1.25, 3.25, 5.25\ldots$.
