Integración de la presión sobre una superficie

Question

Considera el perfil aerodinámico 2D a continuación.

_{(fuente: <a href="http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/fluids/imgflu/airfoil.gif" rel="nofollow noreferrer">gsu.edu</a>)}

En ingeniería (y tal vez en física) a menudo verás algo como lo siguiente como una expresión de la fuerza de presión actuando sobre una superficie (en este caso una curva pero imagina que tiene profundidad unitaria en la pantalla).

$$ \mathrm{d} \mathbf{F} = p \, \mathrm{d} \mathbf{s} \\ \text{donde} \, \mathrm{d} \mathbf{s} = \mathbf{\hat{n}} \, \mathrm{d} s $$

Si intentas integrar esto sobre una curva C para encontrar la fuerza, obtienes;

$$ \int_?^? \mathrm{d} \mathbf{F} = \int_C p \, \mathrm{d} \mathbf{s} $$

donde no parece haber límites correspondientes evidentes para integrar en el LHS. ¿Es correcto considerar los límites como de 0 a $\mathbf{F}$ o es esto algún tipo de "abreviatura" de ingeniería que a menudo se ve y no tiene sentido matemáticamente? Estoy tratando de interpretarlo como un "cambio en la fuerza" pero no tiene mucho sentido para mí.

Answer 1

Estás sumando "pequeñas cantidades de fuerza" sobre "todos los puntos en la superficie".

Esta es la cosa complicada acerca de las integrales: no siempre son construcciones unidimensionales agradables con límites en las unidades de la cantidad representada como $dx$.

El símbolo de la integral es en realidad una letra S muy estilizada; una vez que te das cuenta de eso, ves que estás "sumando algo" y los límites solo describen la región sobre la cual se realiza la suma.

En tu ejemplo, la "región" es la superficie del ala; y no puedes dar límites numéricos "limpios" a menos que encuentres una forma de parametrizar la ubicación en el ala para obtener una separación de variables. Pero para el concepto de integración, eso no importa...

Nota sobre la separación de variables: si tienes un rectángulo paralelo a X e Y, puedes describir cada parte de la superficie con coordenadas x, y y área como dx dydx dy. Entonces los límites se convierten en $$\int_{x_1}^{x_2}\int_{y_1}^{y_2}\vec{F}(x,y)\cdot \vec n ~dx ~dy$$

No sé si eso hizo las cosas más claras, o simplemente te confundió más. Comentarios...

Answer 2

¡Los límites pueden ser el fuselaje hasta la punta de las alas :) !! Como algunos usuarios mencionaron, es solo una fuerza en total, nada de qué preocuparse en los límites sobre la integración. Si se toma como una línea, simplemente sumar todas las líneas dará el área y, por supuesto, la fuerza. Por ejemplo, si la fuerza es de xxxx Newtons en una sola línea y se suma sobre el área muestreada (cada muestra se considera como una línea gruesa) dará la fuerza total. A medida que aumenta la tasa de muestreo (el grosor de muestreo --->0), el error disminuirá. La integración elimina esta complejidad, pero depende de la ecuación gobernante. ¿Estoy volviéndolo más complejo :(