Calculando la Masa de la Atmósfera (usando una triple integral)

Question

Se me ha dado la tarea de calcular la masa de la atmósfera dado la siguiente información (no del todo correcta). Se supone que es un experimento mental para un curso de pregrado en ciencias atmosféricas. Reconozco que he elegido una manera difícil de hacer esto, pero creo que debería funcionar, y estoy confundido en dónde puedo estar fallando en mi razonamiento.

Radio de la Tierra: 6000 km.

Densidad de la atmósfera a nivel del mar: $3\times10^{19}$ $\frac{moléculas}{m^3}$.

Ahora, tomando la composición de la atmósfera como aproximadamente 78,1% N2 (28,014 g/mol), 20,9% O2 (31,998 g/mol), y 0,9% Ar (39,948 g/mol), obtenemos un peso molecular promedio de 28,926 g/mol.

Convirtiendo la densidad (constante de Avogadro y peso molecular promedio de arriba), obtenemos una densidad de 0,00144 $\frac{g}{m^3}$.

Ahora estoy asumiendo que la densidad de la atmósfera disminuye exponencialmente de manera proporcional a la altura. Es decir, $d(h)=e^{\lambda h}$ y calculé lambda usando mi densidad y el radio de la Tierra, $d(6000000)=0.00144=e^{6000000\lambda}$. Resolviendo para la constante de proporcionalidad obtenemos $\lambda = -1.09\times10^{-6}$. Nota, antes de escribir esta pregunta estuve usando mi densidad original dada para calcular esta constante de proporcionalidad y eso no fue válido. Sin embargo, esto también está equivocado.

Tomando la 'cima' de la atmósfera como 500 km sobre la Tierra, y enchufando esto en una triple integral obtenemos:

$\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_{6000000}^{6500000} r^2e^{(-1.09\times10^{-6}r)}sin\phi\, dr\, d\phi\, d\theta$

He estado usando Wolfram Alpha para calcular, pero no he podido encontrar una respuesta que esté cerca de ser correcta.

¿Hay algo notablemente incorrecto en lo que he hecho hasta ahora? Desconfío profundamente de mi tratamiento de la función de densidad, y también de mis unidades. Intuitivamente, esto se siente como un enfoque válido (aunque complicado) para el problema. No estoy muy interesado en un enfoque más simple, sino en saber dónde me equivoqué. Además, mi cálculo está bastante oxidado.

Este es mi primer post en StackExchange, así que gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Dos problemas que veo:

1. Calculaste $\lambda$ incorrectamente
2. Puedes simplificar la integral

En primer lugar, la Tierra no está compuesta de gas. La caída exponencial de la densidad se aplica a las distancias por encima de la Tierra. Si la densidad de la atmósfera es de $0.00144 \frac{g}{m^3}$ a nivel del mar, esto implica:

$$Ce^{\lambda 0} = 0.00144$$

no

$$Ce^{\lambda 6,000,000} = 0.0014$$

Desafortunadamente, esto significa que necesitas otro punto de datos (a alguna distancia sobre el nivel del mar) para calcular $\lambda$ (ya que por debajo del nivel del mar tenemos agua/roca, no gas).

En segundo lugar, hay una simetría alrededor de $r$ si tratamos la Tierra como una esfera. Puedes aprovechar esto para integrar la masa de la atmósfera usando "capas" de radio $6000000 + h$ ($h$ es la altura sobre el nivel del mar). Esto reduce una integral triple a una sola integral:

$$M_{atm} = \int_{6,000,000}^{6,500,000} Ce^{\lambda h}4\pi (6000000+h)^2dh$$

Esto es relativamente fácil para WolframAlpha... solo necesitas más datos para obtener $\lambda$.