¿Por qué la magnitud de la suma de dos enésimas raíces adyacentes es siempre un número "interesante", y qué tienen que ver estos números entre sí?

Question

Mientras que hacer algo completamente sin relación, descubrí una función interesante:

$$f(x)=2 \left\vert\cos { \frac { \pi }{x}} \right\vert$$

Lo que da el valor absoluto de la suma de dos adyacentes $x^ \text {th}$ -Raíz de la unidad para $x \in\mathbb {R}$ .

Esta función me pareció interesante porque, por la razón que sea, los valores enteros (y ciertos valores racionales) de $x$ parece que sólo dan números "interesantes".

Por ejemplo:

$f(5/2)= \Phi$ (conjugado de la proporción áurea) , $f(4)= \sqrt {2}$ , $f(5)= \phi$ (proporción áurea),

$f(7)= \sqrt { \mathcal {S}}$ (cuadrante de la constante de plata),

$f(9/7)= \frac {1}{ \mathcal {P}_c(6^3)}$ ( $\mathcal {P}_c \left (6^3 \right )$ es el umbral de percolación del enlace para una red de panales),

$f(9)= \frac {1}{ \mathcal {P}_c(3^6)}-1$ ( $\mathcal {P}_c \left (3^6 \right )$ es el umbral de percolación del enlace para una red triangular)

...y así sucesivamente.

Descubrí poco antes de escribir esto que estas son las raíces cuadradas de los números de Beraha, pero no tengo ni idea de lo que eso significa o lo que tiene que ver con las raíces de la unidad, así que la pregunta no ha cambiado.

¿Por qué aparecen estos números? ¿Y qué tienen que ver los números de Beraha, las raíces de la unidad, las celosías y las raíces algebraicas entre sí?

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Nota: si $x$ es racional, entonces $f(x)$ es algebraico. No puedo confirmar ni negar que $f(x)$ es algebraico si $x$ es algebraico. En cualquier caso, los números trascendentales no aparecen aquí. También es fácil mostrar que la suma de dos cualesquiera $x^ \text {th}$ las raíces de la unidad son algebraicas si $x$ es racional.

Nota: dos $x^ \text {th}$ -las raices de la unidad son "adyacentes" si la distancia entre ellas es mínima, es decir. $z_1,z_2= \sqrt [x]{1}$ son adyacentes si no hay $z_3= \sqrt [x]{1}$ de tal manera que $d(z_1,z_2)>d(z_1,z_3)$ o $d(z_1,z_2)>d(z_2,z_3)$

Si se cuentan las raíces de la unidad por "paso" en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del círculo unitario, entonces la magnitud de la suma de dos raíces de la unidad separadas por $n$ pasos está dada por la función: $$f(x)=2 \left\vert\cos { \frac { \pi n}{x}} \right\vert$$

Answer 1

Antes de todo esto $$f(x)=\sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{x}}=2\left|\cos\frac{\pi}{x}\right|.$$