Cómo ver $x^6-1=(x^21)(x^2+x+1)(x^2x+1)$ ?

Question

Estaba leyendo un ejemplo en el que el objetivo era calcular un determinado grupo de Galois. En el camino, el escritor dice : nota $x^6-1=(x^21)(x^2+x+1)(x^2x+1)$ . Pero, ¿cómo puedo anotar esto? Entiendo que se puede factorizar por $x^2-1$ ya que al dibujar en el círculo unitario veo que $-1$ y $+1$ son raíces. ¿Pero para el resto?

Editar :

Veo que entonces puedes factorizar $(x^2-1)(x^4+x^2+1)$ y luego sustituirlo por $x^2=y$ y resolver la ecuación cuadrática, pero ¿puedes ver la solución visualmente?

Answer 1

$x^6-1=(x^3+1)(x^3-1)\\x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\\x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$
puede ayudar.

Answer 2

Además, utilizando su idea obtenemos: $$x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)=(x^2-1)(x^4+2x^2+1-x^2)=$$ $$=(x^2-1)((x^2+1)^2-x^2)=(x^2-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1).$$

Answer 3

$x^6 - 1 = (x^2 -1)(x^4 +x^2 + 1)$ pero

$x^6 - 1 = (x^3 -1)(x^3 + 1)$ .

Así que $(x^4 +x^2+1)$ puede ser factorizado aún más. Como puede $x^3 -1$ y $x^3 +1$ .

Factorizando lo obvio $(x^2 -1) = (x+1)(x-1)$ y $(x^3 -1) = (x-1)(x^2 + x + 1)$ nos encontramos con que:

$x^6 - 1 = (x+1)(x-1)(x^4 +x^2 + 1)$ pero

$x^6 - 1 = (x-1)(x^2 + x+1)(x^3 + 1)$

Así que sabemos que $x+1$ factores, ya sea $x^3 + 1$ o $x^2 + x+1$ y los factores resultantes serán de hecho $x^4 + x^2 + 1$ .

Espero que quede claro $x^3 + 1 = (x+1)(x^2 -x +1)$

Y eso nos da nuestro resultado:

$x^6 -1 = (x^3 -1)(x^3 +1)=$

$(x-1)(x^2 + x + 1)(x+1)(x^2 -x + 1)=$

$(x-1)(x+1)(x^2 + x +1)(x^2 -x + 1) = (x^2-1)(x^2+x+1)(x^2 -x + 1)=$

$(x^2-1)(x^4 + x^2 + 1)$

.....

Una cosa muy hábil que sólo se ve en retrospectiva:

$x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 -x^2=$

$(x^2 + 1)^2 -x^2 = ((x^2 + 1) -x)((x^2 +1) + x)=$

$(x^2 -x + 1)(x^2 +x +1)$ .

\====Respuesta antigua====

Lo notas al hacerlo:

$(x^21)(x^2+x+1)(x^2x+1) =... = x^6 -1$ .

No importa los pasos que des para obtener ese resultado.

Pero si buscara respuestas cortas y resbaladizas sí lo haría:

$x^6 -1 =(x^2-1)(x^4 + x^2 + 1)=(x-1)(x+1)(x^4+x^2 + 1)$

Ahora bien, es cierto que $x^4 + x^2 + 1$ no es inmediatamente obvio como factor pero sabiendo

$x^6 -1 = (x^3 -1)(x^3 + 1)=(x-1)(x^2 + x + 1)(x^3+1)$

Y

$x^6 -1 = (x^2 -1)(x^4 + x^2 + 1) = (x-1)(x+1)(x^4+x^2+1)$

sabemos que debe factor de baja.

Así que dividiendo $x^3 + 1$ por $x+1$ nos encontramos con que.

$x^6 -1 = (x^3 -1)(x^3 + 1)=$

$(x-1)(x^2 + x + 1)(x+1)(x^2 -x + 1)$ y.... eso es todo.

$x^6 -1 = (x-1)(x+1)(x^2 +x +1)(x^2 - x + 1)=$

$(x^2 -1)(x^2 +x +1)(x^2 - x + 1)$

Esto significa además $(x^2 +x + 1)(x^2 -x +1) =x^4 + x^2 + 1$ .

.....

O

....

Yendo hacia el otro lado:

$(x^2 -1)(x^2 +x + 1)(x^2 - x + 1)=$

$(x^2 -1)((x^2 + 1) + x)(x^2 + 1) -x)) =$

$(x^2 -1)((x^2 + 1)^2 - x^2) =$

$(x^2 -1)(x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 )= $

$(x^2 -1)(x^4 + x^2 + 1) =$

$x^6 + x^4 + x^2 - x^4 -x^2 -1 =$

$x^6 -1$ .

....

Pero, en serio, cuando se dice "nota que..." se nota por... observando que es simplemente un hecho. Es cierto.

Incluso si no viera ninguna forma inteligente de hacerlo, todavía podría.... simplemente hacerlo.

$(x^2 -1)(x^2 +x +1)(x^2 - x + 1) = $

$x^2(x^2 + x + 1)(x^2 -x + 1) - (x^2 +x +1)(x^2 - x + 1)=$

$(x^4 + x^3 +x^2)(x^2 -x + 1) - x^2(x^2 -x +1) -x(x^2 -x +1) -(x^2 -x + 1) = $

$x^4(x^2 -x +1) + x^3(x^2 -x + 1) + x^2(x^2-x +1) -x^4 +x^3 -x^2 -x^3 +x^2 -x -x^2 +x -1 =$

$x^6 -x^5 + x^4 + x^5 -x^4 +x^3 +x^4 -x^3 + x^2 -x^4 -x^2-1=$

$x^6 -1=$

En resumen, no importa cómo anótalo tú. Sólo anótalo.