Su ejemplo sí funciona.
Dejemos que $\widetilde X$ sea el gráfico que has dibujado, deja que $X = S^1 \vee S^1$ sea el espacio original, y que $\pi : \widetilde X \to X$ sea el mapa de cobertura. También definimos $p \in X$ para ser el punto $p=\pi(p_1) = \pi(p_2) = \pi(p_3)$ .
Queremos demostrar que la cobertura $\pi : \widetilde X \to X$ no es regular. Considere la fibra por encima de la $p \in X$ que es $\pi^{-1}(p) = \{ p_1, p_2, p_3 \}$ . Para demostrar que el recubrimiento no es regular, basta con mostrar que no existe una transformación de cubierta $\tau : \widetilde X \to \widetilde X$ tal que $\tau(p_1) = p_2$ . [Una transformación de cubierta es un homeomorfismo $\tau : \widetilde X \to \widetilde X$ tal que $\pi \circ \tau = \pi$ .]
Desde $\tau$ obedece a $\pi \circ \tau = \pi$ debe permutar los puntos en $\pi^{-1}(p)$ . Así que si $\tau(p_1) = p_2$ entonces hay dos opciones: o bien $\tau$ envía $p_1 \mapsto p_2$ , $p_2 \mapsto p_3$ y $p_3 \mapsto p_1$ o $\tau$ envía $p_1 \mapsto p_2$ , $p_2 \mapsto p_1$ y $p_3 \mapsto p_3$ .
Ambas opciones son imposibles. En $\widetilde X$ cada camino desde $p_1$ a $p_3$ pasa a través de $p_2$ . Pero hay un camino desde $p_2$ a $p_1$ que no pasa por $p_3$ y hay un camino desde $p_2$ a $p_3$ lo que no pasa a través de $p_1$ . Por lo tanto, no puede existir un homeomorfismo $\tau : \widetilde X \to \widetilde X$ enviando $p_1 \mapsto p_2$ , $p_2 \mapsto p_3$ y $p_3 \mapsto p_1$ o enviando $p_1 \mapsto p_2$ , $p_2 \mapsto p_1$ y $p_3 \mapsto p_3$ .
La intuición es que los puntos $p_1, p_2, p_3$ están en diferentes "entornos". En mi prueba, exploté el hecho de que $p_1$ es un "punto final", mientras que $p_2$ es un "punto medio" (disculpen la mala terminología).
