Lo que está mal con esta falsa prueba de que $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n!} = 1$?

Question

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n!}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{1}*\sqrt[n]{2}\cdots\cdot\sqrt[n]{n}=1\cdot1\cdot\ldots\cdot1=1$$ Ya sé que esto es incorrecto, pero me pregunto por qué. Es probable que tenga algo que ver con el hecho de que la multiplicación en $n!$ es de hecho infinito número de veces.

Answer 1

Comience por averiguar un simple ejemplo: $$1 = \lim_{n\to\infty} \frac n n = \lim_{n\to\infty} \frac {1+1+\ldots+1} n = \lim_{n\to\infty} \frac 1 n + \frac 1 n + \ldots + \frac 1 n = 0 + 0 + \ldots + 0 = 0$$

De hecho, no puede intercambiar suma (o producto) y límite si la cantidad de términos en la suma o el producto dependen de la limitación de la variable.

Answer 2

Otra forma de explicar esto es que para infinite $n$, cada uno de los factores $\sqrt[n]{1}$, $\sqrt[n]{2}$, $\sqrt[n]{3}$, ... $\sqrt[n]{n}$ será infinitamente cercana a $1$, pero esto no es suficiente para concluir nada sobre el producto, ya que hay infinidad de factores en el producto.