¿Cuáles son las diferencias entre las ecuaciones térmicas y las ecuaciones de Poisson?

Question

Soy bastante nuevo en las ecuaciones térmicas y quería algunas aclaraciones. ¿Cuáles son las características distintivas entre la ecuación del calor y la ecuación de Poisson?

Answer 1

La ecuación del calor describe un proceso de difusión del calor en el tiempo. $u(x,t)$ representa allí la temperatura de su cuerpo en el momento $t$ y ubicación $x$ (dadas unas condiciones iniciales/limítrofes y una fuente de calor). La ecuación de Poisson trata de una distribución estacionaria o de equilibrio de la temperatura, es decir, se busca una función de $x$ solo que describe la temperatura suponiendo que ya no cambia. La ecuación de Poisson describe la situación límite, cuando el calor ya no fluye (dadas unas condiciones de contorno y unas fuentes).

Si se empieza a calentar un cuerpo, su temperatura se describe mediante la ecuación del calor, pero para tiempos muy largos, la distribución inicial de la temperatura se olvida y su solución se parece cada vez más a la solución de la ecuación de Poisson correspondiente (con las mismas fuentes y condiciones de contorno)

Answer 2

Rápidamente primero, la ecuación de Laplace tiene la forma

$$\Delta u(\vec{x}) = 0.$$

Ahora la ecuación del calor es de la forma

$$\frac{\partial u}{\partial t} - c^2 \Delta u = 0$$

para algunos $c \in \mathbb{R}$ . Se diferencia un poco de la ecuación de Laplace en que contiene la derivada temporal.

La ecuación de Poisson es, de nuevo, un poco diferente de la ecuación de Laplace en que es no homogénea. La ecuación de Poisson es

$$-\Delta u(\vec{x}) = f(\vec{x}).$$

Algunas de las principales diferencias entre la ecuación del calor y la ecuación de Poisson son que la ecuación del calor es una ecuación parabólica, mientras que la ecuación de Poisson es elíptica. La solución del calor depende del tiempo, mientras que la de Poisson no. Es decir, la ecuación del calor busca soluciones que se autoalisen en el tiempo, mientras que las soluciones de la ecuación de Poisson se fijan estáticamente en el espacio. Una solución de la ecuación del calor alcanza finalmente un equilibrio en el que $u_t$ es esencialmente cero. En este punto, la solución térmica también satisface la ecuación de Laplace. En la ecuación de Poisson, $f(\vec{x})$ representa una distribución de calor, y si $f \equiv 0,$ entonces la ecuación de Poisson se reduce a la ecuación de Laplace. Por supuesto, las soluciones de todas ellas dependen del dominio y de las condiciones iniciales/de contorno.

Answer 3

Una Ecuación de Posesión tiene la forma:

$$f(x)=\nabla^2\phi$$

que dice: "Hay algo, $f(x)$ que depende de la tasa de cambio de la vecindad local de otra cosa".

La Ecn. de Calor tiene la forma:

$$\frac{\partial\phi}{\partial t}=\nabla^2\phi \text{ (where }\phi\text{ is heat)}$$

que dice: "El algo es calor, y la tasa de cambio de calor $\frac{\partial \phi}{\partial t}$ depende de la velocidad de cambio de su propia vecindad local". Esto es lo que significa cuando decimos que el calor se desplaza (cambia) de zonas calientes a zonas frías (vecindad).

Si entendemos que el $f(x)$ en la Ecn. de Poisson representa "lo que hay que resolver", y sustituimos $f(x)=\frac{\partial\phi}{\partial t}$ entonces:

$$f(x)=\frac{\partial\phi}{\partial t}=\nabla^2\phi$$

En otras palabras, la Ecuación del Calor es una especial caso de la Ecuación de Poisson en el que "lo que hay que resolver" es la tasa de cambio de calor. La ecuación de Poisson es una generalización que puede resolver muchos problemas, como la gravedad (f=fuerza gravitatoria=4 pi G), la electrostática (f=carga=-p/e), la presión de los fluidos (f=presión) o el calor (f=velocidad de cambio del calor=/t).

Podemos ver cómo la Ecuación de Poisson es general porque hay dos cosas, y f, una normalmente conocida y la otra desconocida. Se trata de dos diferente algo. Sin embargo, en la Ecuación del Calor, ambas cosas son calor: . ¿Qué significa esto? Que el cambio de calor depende del propio calor actual. Recuerda de nuevo: "El calor fluye de las zonas calientes a las frías". Por lo tanto, el calor se mueve en base a sí mismo. Es un tipo de movimiento bastante específico que no se da en otras cosas físicas. La Ecuación del Calor es una forma específica de la Ecuación de Poisson.

Answer 4

Ok, hay varias cosas que voy a tratar aquí. En primer lugar, la ecuación de Poisson se expresa generalmente como $$f(\mathbf{r})=\nabla^2\Phi$$ Dónde $\mathbf{r}$ est un vector . Usted ha afirmado incorrectamente en su post que $f(\mathbf{r})$ es lo que estamos tratando de resolver. Esto no es cierto. Esto haría que el problema trivial - sabiendo $\Phi$ lo único que tendríamos que hacer es tomar su Laplaciano y listo. Cuando tratamos con la ecuación de Poisson nosotros conozca qué $f(\mathbf{r})$ y estamos resolviendo una EDP de segundo orden para determinar $\Phi.$ Observe que ambos $f$ y $\Phi$ son del mismo "tipo", es decir, ambos tratan de un espacial cantidad, el vector de posición, $\mathbf{r}$ .

Por el contrario, la ecuación del calor es $$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha\nabla^2u$$ La inclusión de la constante dimensional $\alpha$ es importante, ya que el RHS trata de un espacial mientras que en el LHS se trata de una temporal cantidad. Así que no, la ecuación del calor no es un caso especial de la ecuación de Poisson. En la ecuación de Poisson, el LHS es una función del espacio y en la ecuación del Calor el LHS es una función del espacio y tiempo. Es decir, en la ecuación de Poisson, buscamos un independiente del tiempo solución de la forma $\Phi(\mathbf{r})$ mientras que en la ecuación del calor buscamos un dependiente del tiempo solución de la forma $u(\mathbf{r},t)$ .