Construya la homotopía de$(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma$ a$\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)$ explícitamente

Question

Entiendo la idea general de un homotopy, pero estoy un poco perdido sobre cómo crear ellos mismo. Por ejemplo, si yo quería mostrar

$$ \text{Vamos a} \: \alpha, \beta \text{y} \: \gamma \: \text{ser caminos} \: I \a X, \: \text{de} \: x_{0} \: \text{a} \: y_{0}, y_{0} \: \text{a} \: z_{0}, \: \text{y} \: z_{0} \: \text{a} \: u_{0}. \: \text{Entonces} \: \\ (\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma \sim \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma) $$

Una posible homotopy es $F: I \times I \to X$, dado por $$\\ F(t,s) = \begin{cases} \alpha(\frac{4t}{1+s}) & 0 \leq t \leq \frac{s+1}{4} \\ \beta(4t-1-s) & \frac{s+1}{4} \leq t \leq \frac{s+2}{4} \\ \gamma(\frac{4t - 2 - s}{2-s}) & \frac{s+2}{4} \leq t \leq 1 \\ \end{casos}$$

Lo que no entiendo es de dónde proviene. ¿Qué es la intuición aquí y cómo puedo forma explícita homotopies como este?

Answer 1

Ver la foto de abajo.

La idea es que, para cualquier elección de $s$, el bucle $t \mapsto F(t, s)$ consiste en caminar a lo largo de $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$, en ese orden. La diferencia entre las distintas opciones de $s$ es en el "horario": cada una selección de $s$ asigna diferentes cantidades de tiempo para $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$.

• Si $s = 0$, un camino de$\alpha$ tiempo $[0, \tfrac 1 4]$, luego camine $\beta$ tiempo $[\tfrac 1 4, \tfrac 1 2 ]$, luego camine $\gamma$ tiempo $[\tfrac 1 2 , 1]$.

• Si $s = 1$, un camino de$\alpha$ tiempo $[0, \tfrac 1 2]$, luego camine $\beta$ tiempo $[\tfrac 1 2, \tfrac 3 4]$, luego camine $\gamma$ tiempo $[\tfrac 3 4 , 1]$.

Por intermedio de opciones de $s$, el horario está determinado por interpolación.

Así, por ejemplo, si $s = \tfrac 1 2$, entras $\alpha$ tiempo $[0, \tfrac 3 8]$, luego camine $\beta$ tiempo $[\tfrac 3 8, \tfrac 5 8]$, luego camine $\gamma$ tiempo $[\tfrac 5 8, 1]$. Y así sucesivamente.

Answer 2

Esto es, básicamente, un reparametrization de la curva, pero la parametrización está cambiando continuamente. Nos puede venir para arriba con el homotopy en dos pasos.

Deje $u:I\to X$ ser una curva, vamos a $\phi:I\to I$ ser un mapa continuo con $\phi(0)=0$ e $\phi(1)=1$, a continuación, $u$ es homotópica a $u\circ\phi$.

Prueba: definir $H(s, t)=u((1-s)t+s\phi(t))$, a continuación, $H(0,t)=u(t)$, $H(1,t)=u(\phi(t))$ e $H(s, 0)=u(0)$, $H(s, 1)=u(1)$. Esencialmente, es la asignación de un homotopy entre $\operatorname{Id}$ e $\phi$ en $I$ a la homotopy en $X$ por $u$.

Hemos sido capaces de construir $\phi:I\to I$ por el reescalado de la velocidad de acuerdo a la hora de viajar a través de cada curva. Más explícitamente, tenemos $[\alpha\cdot(\beta\cdot\gamma)] (t) = [(\alpha\cdot\beta) \cdot\gamma] (\phi(t)) $ si definimos: $$\phi(t) =\begin{cases}\frac 12 t, & t\in[0,\frac 12]\\ t-\frac14, & t\in [\frac12, \frac34] \\ 2t-1, & t\in [\frac34, 1]\end{cases} $$

Sin embargo, si se aplica la fórmula anterior, mientras que todavía podemos obtener un homotopy, pero la fórmula no es tan limpio (como en la necesitamos dividir en 5 de los casos). Para obtener la fórmula se dijo, echemos un vistazo a los gráficos de los intermedios de reparametrizations, para cada uno de ellos fijo $s_0$, en el gráfico de $\phi_{s_0}(t) =1-s_0)t + s_0 \phi(t) $ sería como un "roto" versión de $\phi(t)$. Así que la imagen de los puntos en los que $\phi_{s_0}$ son piecewisely definido no coinciden con los puntos en los que $(\alpha\cdot\beta) \cdot\gamma$ es piecewisely definido. Para hacerlos coincidir necesitamos "cortante" $\phi(t)$ a la izquierda.

Así que debemos tomar $\tilde\phi_s(t)$ la función inversa de la $(1-s)t+s\phi^{-1}(t)$, es decir, $\tilde\phi_s(t)$ es la inversa de a$$\begin{cases}(1+s)t, & t\in[0,\frac14] \\ t+\frac s4, & t\in[\frac 14,\frac 12]\\ \frac 12(2-s)t +\frac s2, & t\in[\frac 12,1]\end{cases}$$

El cual es dado por: $$\tilde\phi_s(t) =\begin{cases} \frac t{1+s}, & t\in[0,\frac {s+1}4]\\ t-\frac s4, & t\in[\frac{s+1}4,\frac{s+2}4]\\ \frac 2{2-s}t - \frac s{2-s}, & t\in[\frac {s+2}4,1]\end{cases} $$

El homotopy que aparecen en el post es, a continuación, $H(s, t) =[(\alpha\cdot \beta)\cdot \gamma](\tilde\phi_s(t)) $.

Answer 3

He comprobado la definición y todos los axiomas del primer grupo de homotopía en esta nota y en esto también explico la homotopía exacta que describe. Espero que te ayude...

Answer 4

Hay una manera más fácil de hacer esto mediante el uso de la noción de un "Moore camino" como un par $(f,r)$ donde $r \in \mathbb R, r \geqslant 0$ e $f:[0, \infty) \to X$ es constante $[r, \infty)$. Esta definición es usada en el muy antiguo libro sobre el Nudo de la Teoría Crowell y Fox. Alternativamente, como en la Topología y de la Groupoids, se considera un camino de longitud $r \geqslant 0$ a ser un mapa de $f:[0, r] \to X$. Compuesto de un camino de longitud $r$ con un camino de longitud $s$ es entonces, cuando se definen, de longitud $r+s$. Esto corresponde intuitivamente la idea de la ruta como "un viaje". La composición es entonces asociativa. También tenemos caminos de longitud $0$ y en ambas definiciones, la composición de las rutas en las $X$ le da una categoría $PX$.

También escribiremos $s$ por un camino constante de longitud $s$ a $y \in X$ y decir dos caminos $f,g$ de $x$ a $y$ en $X$ son equivalentes si existen números reales $s,t \geqslant 0$ tal que $f+s, g+t$ son homotópica rel puntos finales. Esto le da a la fundamental groupoid $\pi_1(X)$.

Uno fácilmente se demuestra que cualquier camino es equivalente a un camino de longitud $1$. Esto se llama normalización, que no es un proceso que se utiliza para los viajes.

Las fórmulas necesarias para que todo este trabajo mucho más fácil que la habitual, que a mí me parece una buena cosa. (He dicho todo esto en otro lugar en este sitio.)