Deje $(\Omega ,\mathbb F,\mathbb P)$. Estoy confunden acerca de algo : Vamos a $X,Y:\Omega \to \mathbb R$ r.v. ¿Qué es $$\mathbb P\{X\leq x,Y\leq y\} \ \ ?\tag{1}$$
Es, $$\mathbb P\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\leq x,Y(\omega )\leq y\}$$ o $$\mathbb P\{(\omega ,\omega ')\in \Omega ^2\mid X(\omega )\leq x,Y(\omega ')\leq y\} \ \ ?\tag{2}$$
Me dicen que la notación $$\mathbb P\{X\leq x,Y\leq y\}=\mathbb P\{\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\leq x\}\cap \{\omega \in \Omega \mid Y(\omega )\leq x\}\},$$
pero en el otherhand, sé que $\mathbb P\{X\in A,Y\in B\}$ es un producto de la medida en $\mathbb R^2$, por lo que puede ser también tenemos un producto medida en $\Omega ^2$ ? Estoy un poco confundir... Especial que si $(\Omega ',\mathcal F',\mathbb P')$, e $X:\Omega \to \mathbb R$, $Y:\Omega '\to \mathbb R$, luego $$\mathbb P\otimes \mathbb P'\{X\leq x, Y\leq y\}=\mathbb P\otimes\mathbb P'\{(\omega ,\omega ')\in \Omega \times \Omega '\mid X(\omega )\leq x, Y(\omega ' )\leq y\}=\mathbb P\{X\leq x\}\mathbb P'\{Y\leq y\},$$ which is a measure on $\mathbb R^2$. That's why I would think that $(é)$ is true but not $(1)$. ¿Qué te parece ?
