Representación de la entropía cuántica negativa en términos de valores propios, es decir,$\text{Tr}(M\log M -M)=\sum_{i=1}^{n}(\lambda_i\log(\lambda_i)-\lambda_i)$?

Question

Negativo Cuántica de la entropía o Negativo Von Nuemann la entropía se define como $f(M)=\text{Tr}(M\log M -M)$.

Donde $M$ es una matriz positiva definida en $\mathbb{S}_+^n$, $\log$ es la matriz natural logaritmo para que $\log(M)$ se define como $\log(M)=\sum_{i=1}^{n}\log(\lambda_i)v_iv_i^T$ donde $(\lambda_i,v_i)$ son eigenpairs de $M$.

Espectáculo $f(M)=\text{Tr}(M\log M -M)=\sum_{i=1}^{n}(\lambda_i\log(\lambda_i)-\lambda_i)$.

Answer 1

Desde $M\in\mathbb{S}_+^n$, debe existir una matriz ortogonal $U$ y una matriz diagonal $\Lambda=\text{diag}\left\{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n\right\}$, con cada una de las $\lambda_j>0$, de tal manera que $$ M=U\Lambda U^{\top}. $$ Por lo tanto, utilizando la definición de $\log M$, \begin{align} M\log M-M&=\left(U\Lambda U^{\top}\right)\left(U\log\Lambda\,U^{\top}\right)-U\Lambda U^{\top}\\ &=U\left(\Lambda\log\Lambda-\Lambda\right)U^{\top}. \end{align} En consecuencia, \begin{align} f(M)&=\text{tr}\left(M\log M-M\right)\\ &=\text{tr}\left(U\left(\Lambda\log\Lambda-\Lambda\right)U^{\top}\right)\\ &=\text{tr}\left(\left(\Lambda\log\Lambda-\Lambda\right)U^{\top}U\right)\\ &=\text{tr}\left(\Lambda\log\Lambda-\Lambda\right)\\ &=\sum_{j=1}^n\lambda_j\left(\log\lambda_j-1\right). \end{align}