"delimitando" un operador ilimitado

Question

Me preguntaba si, dada una cierta ilimitado operador en un espacio de Hilbert, se puede (ingenuamente hablando) ser "cortado" (o "limitado" por ciertas proyecciones.

Así que, pensando acerca de esto en la forma más sensata, tengo la siguiente pregunta:

Deje $T$ ser no acotada (densamente definido) uno mismo-adjoint (positivo) del operador en $\mathcal{H}$, y deje $\{P_\lambda\}_{\lambda > 0}$ el espectro de la familia de $T$. A continuación, podemos observar lo siguiente: $\mathcal{H}_\lambda:= P_{(\lambda^{-1},\lambda)}\mathcal{H}$, donde $P_{(\lambda^{-1},\lambda)}$ corresponden a la Borel funcional de cálculo en $T$ de la característica de la función en el intervalo de $(\lambda^{-1},\lambda)$.

Es cierto que, en $\mathcal{H}_\lambda$, $||Tx||\leq \lambda||x||$ ?

Answer 1

Sí, por supuesto.

El cálculo funcional conserva la positividad. La función $(\lambda-t)\,1_{(0,\lambda)}(t)$ no es negativa, por lo que el operador $(\lambda\,I-T)\,P_{(0,\lambda)}$ es positivo. Es decir, $T\,P_{(0,\lambda)}\leq\lambda\,P_{(0,\lambda)}$ . En particular, $\|T\,P_{(0,\lambda)}\|\leq\lambda$ .