Quiero intuitivamente argumentan que no hay ninguna función con algunas propiedades, y lo encuentran difícil de explicar a alguien que sólo se entiende que los derivados son representativos de aumentar las tasas de una función.
Aquí está la declaración:
No hay ninguna función $f(x)$ a $x \ge 0$ tal que $f(0)=0$, $f'(0)=0$, $f(x)<x^2$ para $x>0$ y que en la primera, segunda y tercera derivada de $f(x)$ son estrictamente positivos en $x>0$.
Agradezco cualquier ayuda!
Creo que no es cierto. Tomemos, por ejemplo,
Aquí está un gráfico: tenga en cuenta que la línea negra para $x^2$ está por encima de la línea azul oscuro para $f(x)$, mientras que la línea verde para $f''(x)$ se mantiene por debajo de $1$ , mientras que la segunda derivada de $x^2$ es $2$, y la línea roja para $f'''(x)$ tiende a $0$ desde arriba como $x$ aumenta
Su intuición es correcta para un poco diferente declaración:
No hay ninguna función $f(x)$ a $x \ge 0$ tal que $f(0)=0$, $f'(0)=0$, $f(x)<x^2$ para $x>0$ , y que la tercera derivada de $f(x)$ está acotado abajo por algunas de las $\epsilon > 0$ a $x>0$.
El argumento es el siguiente: Supongamos que dicha función existe. Luego tenemos a $f'''(x) \geq \epsilon$, lo que significa que se han de integrar ambos lados) $$ f"(x) - f"(0) \geq \epsilon x. $$ Denotar $f''(0) = a$, por lo que $f''(x) \geq \epsilon x + a$. Integrando dos veces más, tenemos $$ f'(x) \geq \frac{1}{2} \epsilon x^2 + x + f'(0) = \frac{1}{2} \epsilon x^2 + x $$ $$ f(x) \geq \frac{1}{6} \epsilon x^3 + x^2 + f(0) = \frac{1}{6} \epsilon x^3 + \frac{1}{2} x^2 $$ Pero si $f(x) < x^2$, tenemos $$ x^2 > f(x) \geq \frac{1}{6} \epsilon x^3 + \frac{1}{2} x^2 $$ para todos los $x > 0$, que se reduce a $$ \frac{6(1 - a/2)}{\epsilon} > x. $$ para todos los $x > 0$. Para cualquier valor de $\epsilon > 0$ e $a \in \mathbb{R}$, esto va a ser infringido $x > 0$, y tenemos una contradicción.
Intuitionally: si la tercera derivada es siempre al menos algún valor, entonces sabemos que la función tiene que crecer al menos tan rápido como $\frac{1}{6} x^3$ veces ese valor. Pero cualquier función que crece tan rápido como $x^3$ (cualquier número positivo) debe tener un valor mayor que $x^2$ en algún momento.
Como en la primera respuesta y comentario de Daniel, podemos elegir cualquier $f'''$ que es positivo en la medida que su integral definida a infinito es finito y menor que 2. a continuación, hacemos copias de seguridad, cada función es la integral definida de $0.$
$$ f'''(x) = \frac{1}{1+x^2} $$ $$ f''(x) = \arctan x $$ $$ f'(x) = x \arctan x - \frac{1}{2} \log \left(1+x^2 \right) $$ $$ f(x) = \left( \frac{x^2 -1}{2} \right) \arctan x - \frac{x}{2} \log \left(1+x^2 \right) + \frac{x}{2}$$
Como $f'' < \frac{\pi}{2},$ obtenemos $$f'(x) = \int_0^x f''(t) dt < \int_0^x \frac{\pi }{2} dt = \frac{\pi x}{2}$$ $$f(x) = \int_0^x f'(t) dt < \int_0^x \frac{\pi t}{2} dt = \frac{\pi x^2}{4}$$
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