Sea$f:M\to N$ un mapa continuo y adecuado.
Deje que$a$ esté en$\operatorname{Range}(f)$, y$f^{-1}(a)$ contenido en un nbhd$U$.
¿Por qué hay un nbhd$W$ de$a$ st$f^{-1}(W)$ en U?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
DiGi
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Es cierto dado que una adecuada mapas (a veces también conocido como perfecto mapas) están cerradas. Deje $K=f^{-1}[\{a\}]$, y deje $U$ ser un conjunto abierto que contiene a $K$. Vamos $F=M\setminus U$; $F$ es cerrado, por lo $f[F]$ es cerrado en $N$. Deje $W=N\setminus f[F]$; claramente $W$ está abierto en $N$, y no es difícil comprobar que $a\in W$$f^{-1}[W]\subseteq U$.
En realidad, no hay más que una definición adecuada de mapa. Son equivalentes para agradables espacios, pero no en general. En particular, si se define un mapa de $f$ ser correcto si $f^{-1}[K]$ es compacto cuando $K$ es compacto, entonces $f$ no necesita ser cerrado, y su declaración no tiene que ser verdadero. Para un contraejemplo, vamos a $\mathscr{C}$ ser el cofinite la topología en $\Bbb{N}$, vamos a $\mathscr{I}$ ser la topología indiscreta en $\Bbb{N}$, y deje $f$ ser el mapa de identidad en $\Bbb{N}$. Cada subconjunto de $\Bbb{N}$ es compacto en ambas topologías, por lo $f$ es perfecto en esta definición. Sin embargo, $f$ no está cerrado, ya que $\{1\}$ es cerrado en $\langle\Bbb{N},\mathscr{C}\rangle$, pero no en $\langle\Bbb{N},\mathscr{I}\rangle$. A ver que no satisfacen su propiedad, vamos a $a=1$ y $U=\Bbb{N}\setminus\{2\}$: $U$ es un espacio abierto de nbhd de $f^{-1}[\{a\}]=\{1\}$$\langle\Bbb{N},\mathscr{C}\rangle$, pero el abierto sólo pone en $\langle\Bbb{N},\mathscr{I}\rangle$$\varnothing$$\Bbb{N}$, y ninguna de las $f^{-1}[\varnothing]$ ni $f^{-1}[\Bbb{N}]$ es un subconjunto de a $U$.
