Cardenales singulares de cada cofinalidad regular.

Question

Primero de todo, un par de definiciones que pueden ser diferentes a las estándar:

Se llama a una función cofinal si $$f:\alpha\mapsto \beta$$is such that $$\sup\{ f(\gamma):\gamma<\alpha\}=\beta$$

En segundo lugar, cf$(\kappa)$ $\min\{\alpha:\exists f: \alpha\mapsto \beta\}$ donde $f$ es cofinal. Un ordinal se llama regular si $cf(\alpha)=\alpha$, y en singular si no es regular.

El problema ahora se pregunta: Demostrar que existen singular cardenales de todos los cofinality.

Así que decir que se nos da $\kappa$ con la propiedad de que $\kappa=$cf$(\kappa)$, y, a continuación, podemos considerar $\aleph_{\kappa+\kappa}$. A continuación, en primer lugar, muestran que existe una cofinal función que se asigna a $\kappa$ a $\aleph_{\kappa+\kappa}$, solo dejo $f(\alpha)=\aleph_{\kappa+\alpha}$ por el camino, además de las obras que podemos ver que $\sup\{f(\alpha):\alpha<\kappa\}=\aleph_{\kappa+\kappa}$. Sin embargo no sé cómo demostrar que esta es la menos uno que funcione. Estoy asumiendo que debo utilizar la regularidad de $\kappa$, de alguna manera, pero no sé cómo.

Gracias.

Answer 1

Corregido: suponga que hay algunos$\lambda<\kappa$ y una función$g:\lambda\to\aleph_{\kappa+\kappa}$ tal que$\sup\{g(\xi):\xi\in\lambda\}=\aleph_{\kappa+\kappa}$. Para cada$\xi\in\lambda$ deje$\alpha_\xi=\min\{\alpha<\kappa:g(\xi)<\aleph_{\kappa+\alpha}\}$. Entonces$\{\alpha_\xi:\xi\in\lambda\}$ es un subconjunto de$\kappa$ de cardinalidad como máximo$\lambda$,$\lambda<\kappa$, y$\kappa$ es regular; ¿Puedes ver ahora cómo usar esto para obtener una contradicción? Tenga en cuenta que$g(\eta)\le\sup\{\aleph_{\kappa+\alpha_\xi}:\xi\in\lambda\}$ para cada$\eta\in\lambda$, ya que por definición$g(\eta)<\aleph_{\kappa+\alpha_\eta}$.

Answer 2

De hecho, como usted pensó $\aleph_{\kappa+\kappa}$ es un buen candidato. La perdida de un punto sobre la regularidad de $\kappa$ viene en el hecho de que $\mathrm{cf}(\mu)$ es regular cardenal por cada $\mu$.

Esto significa que si $\kappa$ es un singular cardenal, a continuación, $\aleph_{\kappa+\kappa}$ tendrá el mismo cofinality como $\kappa$, que por la hipótesis de la singularidad no es $\kappa$ sí.

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Vamos a demostrar el siguiente teorema:

Supongamos $\kappa$ es un infinito cardenal, a continuación,$\mathrm{cf}(\kappa)=\mathrm{cf}(\mathrm{cf}(\kappa))$. En particular, se muestra que el $\mathrm{cf}(\kappa)$ es regular el cardenal.

Denotar $\mathrm{cf}(\kappa)=\lambda$$\mathrm{cf}(\lambda)=\mu$. Desde $f(\alpha)=\alpha$ es cofinal en $\lambda$ tenemos que $\mu\le\lambda$. Supongamos por contradicción que esto es una fuerte desigualdad. Esto significa que existe una función de $f\colon\mu\to\lambda$ que es cofinal en $\lambda$.

Desde $\lambda=\mathrm{cf}(\kappa)$ sabemos que hay algunos $h\colon\lambda\to\kappa$ que es cofinal en $\kappa$. Nos muestran que $(h\circ f)\colon\mu\to\kappa$ también es cofinal en $\kappa$:

Supongamos $\beta<\kappa$, entonces hay algo de $\alpha<\lambda$ tal que $\beta<h(\alpha)$, y desde $f$ es cofinal en $\lambda$ tenemos algunos $\gamma<\mu$ tal que $\alpha<f(\gamma)$. Esto significa que $h(\alpha)<h(f(\gamma)$.

Sin embargo también sabemos que $\beta<h(\alpha)<h(f(\gamma))$. Por lo tanto, $h\circ f$ es cofinal función cuyo dominio es estrictamente menor que $\lambda$, en contradicción con nuestra hipótesis de que $\lambda=\mathrm{cf}(\kappa)$ el mínimo ordinal que puede ser asignado unboundedly en $\kappa$.