Pregunta de probabilidad interesante - Variación del problema de cumpleaños

Question

Supongamos que en un hipster restaurante que hacer el arte encurtidos. En este restaurante tienen $n$ pickle de decisiones (picklers). Cada día, cada uno pickler hace $10$ frascos de encurtidos. Siempre que cualquier pickler tiene un cumpleaños, es un día de fiesta (el restaurante está cerrado, no funcionan en absoluto). No hay otros días de fiesta incluso los fines de semana. Bajo estas condiciones, ¿cuántos picklers que se han utilizado, si se quiere maximizar el número esperado de frascos de encurtidos producidos en un año (es decir, maximizar las horas-persona)?

Hola, este es un problema interesante que he encontrado. Parece ser una variante del problema del cumpleaños. Traté de dejar $y$ el número de días festivos y $f(y)$ ser el pdf del número de días festivos con respecto a $n$. Este es el pdf que se me ocurrió pero no parece ser normalizada.

$$f(y) = \frac{365! \cdot y^{n-y}}{(365-y)!365^n}$$

Alguna sugerencia?

Answer 1

La fábrica de conservas puede producir de forma arbitraria muchos encurtidos contratando únicamente a las personas nacidas en un día en particular.

Para hacer que un problema en el Problema del Cumpleaños de la tradición, vamos a suponer que los cumpleaños de pepinillo decisiones son independientes distribuidas de manera uniforme, y que un año ha $365$ días. . Supongamos que contratar $n$ de la gente.

Para$i=1$$365$, vamos a $Y_i=1$ si nadie tiene un cumpleaños en el Día de la $i$, y deje $Y_i=0$ lo contrario. A continuación, el pepinillo de producción en el Día $i$$10nY_i$. La producción anual es de $\sum_1^{365}10nY_i$, y se espera que la producción anual, por la linealidad de la expectativa, es $\sum_1^{365}10nE(Y_i)$.

La probabilidad de que nadie tiene un cumpleaños en el Día de la $i$$(364/365)^n$. Así que lo que queremos es maximizar $$3650n(364/365)^n.$$ Este es un estándar de cálculo problema, excepto que tendremos que producir un número entero respuesta. Utilice el cálculo para maximizar $te^{-kt}$ donde $k=\ln(365/364)$.

Observación: se utilizó la linealidad de la expectativa de eludir el más complicado problema de encontrar la distribución del número de frascos de pepinillos producido. Ese enfoque nos deja con una complicada expresión de la expectativa. Indicador de variables aleatorias tales como nuestra $Y_i$ puede ser muy útil.

Answer 2

Sé que esto ya se ha respondido matemáticamente, pero para lo que vale, aquí hay un histograma de valores promedio obtenidos de ensayos aleatorios.

Puede ver claramente un máximo en algún lugar alrededor de 365 empleados.