Le $X$ ser el conjunto de todos los que no vacía de subconjuntos de a $\{a,b,c,d,e,f\}$. Por lo $X=\{a,b,c,d,e,f,ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,abc,\cdots,abcdef\}$; es decir, $|X|=63$. Queremos partición $X$ en dos conjuntos disjuntos $Y$ $Z$ tal forma que: (i) $|Y|=13$; (ii) Dado cualquier elemento $z \in Z$, $\exists ~ y_1,y_2 \in Y$ tal que $y_1y_2=z$; (iii) Si $x_1,x_2 \in Y$,$x_1x_2 \notin Y$.
Nota los siguientes:
(1.) $(X,\cdot)$ es conmutativa: Dado $ x=ab,y=cd\in X$,$x \cdot y=(ab)(cd)=abcd=adbc=dcba=\cdots=cdab=y \cdot x$;
(2.) Dos cartas mismo se cancela a sí mismos: $(ab)(ac)=aabc=bc$.
Mi objetivo es encontrar a $Y$. He intentado muchas cosas en vano. Por ejemplo, $Y$ no puede contener todas las palabras de longitudes $1$, $5$ y $6$ ya que este no puede dar todas las palabras de longitud $3$ o $4$.
Cualquier ayuda en la solución de $Y$ será altamente apreciada.