Fórmula del producto de Euler para la demostración de la función zeta de Riemann

Question

En clase hemos introducido la función Zeta de Reimann

$$\zeta (x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^x}$$ Y probamos que su dominio era $D=(1,+\infty)$

Ahora Euler demostró que

$$\zeta(x)=\prod_{p\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-x}}$$

Al decir $$\zeta(x)=1+\frac{1}{2^x}+\frac{1}{3^x}+... \\ \zeta(x)(\frac{1}{2^x})=\frac{1}{2^x}+\frac{1}{4^x}+... \\ \zeta(x)(1-\frac{1}{2^x})=1+\frac{1}{3^x}+\frac{1}{5^x}+...$$

Y así sucesivamente para cada número primo.

Sin embargo, esta prueba no es una "prueba rigurosa" como dice mi profesor. ¿Por qué y cómo se puede demostrar esto de forma rigurosa? Cualquier referencia sería útil. He visto en la wikipedia que para que la prueba sea rigurosa hay que observar $\mathfrak{R}(x)>1$ ¿Es la parte real de x o algo más?

Answer 1

(así es como lo haría yo)

considerar el producto formal y la serie, entonces por inducción en la $k$ el primo : $$\prod_p (1+p^{-x}+p^{-2x}+\ldots) = \sum_n a_n n^{-x}$$

Consideremos ahora el coeficiente $a_1$ : es claramente $1$ el coeficiente $a_2$ : es claramente $1$ etc. (por el teorema fundamental de la aritmética).

ahora haga lo mismo con $$F_K(x) = \prod_{p \le K} (1+p^{-x}+p^{-2x}+\ldots) = \sum_{n=1}^\infty a_n(K) n^{-x}$$

entonces si $n = \prod_i p_i^{e_i}$ : $a_n(K) = 1$ si todos los $p_i \le K$ Si no es así $a_n(K) = 0$ .

claramente $F_K(x)$ está bien definida para cualquier $x > 1$ (es un producto finito), y $\lim_{K \to \infty} F_K(x)$ existe también porque el logaritmo del producto infinito es $-\sum_p \ln(1-p^{-x})$ que es absolutamente convergente ya que $\ln(1-p^{-x}) \sim -p^{-x}$ y que $\sum_p p^{-x} < \sum_{n=1}^\infty n^{-x}$ que es (absolutamente) convergente.

finalmente, $\zeta(x)- F_K(x) = \sum_{n=1}^\infty |a_n(K)-1| n^{-x} > 0$ es absolutamente convergente, es decreciente en $K$ y claramente $\to 0$ cuando $K \to \infty$ ya que cada término $\to 0$ .

es decir:

$$\lim_{K \to \infty} F_K(x) = \prod_p \frac{1}{1-p^{-x}} = \zeta(x) \qquad\qquad (\forall \ x > 1)$$

la prueba para cada $Re(x) > 1$ es un poco más complicado, ya que no tenemos convergencia monótona de $\zeta(x)-F_K(x)$ a $0$ sino sólo la convergencia absoluta.

Answer 2

La fórmula de Eulers para la función Zeta es, $$\prod_{p \in \mathbb{P}}^{p \le A} \frac1{1- p^{-s}} = \prod_{p \in \mathbb{P}} (\sum_{k=0}^{\infty} p^{-ks})$$

Las sumas y productos infinitos pueden depender del orden. Los finitos no. Consideremos los productos finitos, $$\prod_{p \in \mathbb{P}}^{p \le A} \frac{1- p^{-(K+1)s}}{1- p^{-s}} = \prod_{p \in \mathbb{P}}^{p \le A} \sum_{k=0}^{K} p^{-ks}$$

El producto sobre una suma es la suma sobre los productos cartesianos de los productos. $$\prod_{a \in A} \sum_{b \in B_a} t_{a,b} = \sum_{c \in \prod_{a \in A} B_a} \prod_{a \in A}t_{a,c_a}$$

donde el producto de conjuntos $\prod_{a \in A} B_a$ se considera un producto cartesiano.

$$\prod_{p \in \mathbb{P}}^{p \le A} \sum_{k=0}^{K} p^{-ks} = \sum_{v \in \prod_{p \in \mathbb{P}}^{p \le A} \{ 0 .. K\}} \prod_{p \in P}^{p \le A}p^{-v_ps} = \sum_{v \in \prod_{p \in \mathbb{P}}^{p \le A} \{ 0 .. K\}} (\prod_{p \in P}^{p \le A}p^{-v_p})^{-s}$$

Cambia la variable de suma utilizando, $$\sum_{v \in V } g(f(v)) = \sum_{w \in \{f(v) : v \in V \} } g(w)$$ que sólo es válida si f es uno a uno. Esto es cierto por Teorema fundamental de la aritmética ya que cada número tiene una factorización única. Esto da,

$$\prod_{k=0}^{K} \sum_{p \in \mathbb{P}}^{p \le A} p^{-ks} = \sum_{n \in \{\prod_{p \in P}^{p \le A}p^{-v_p} : v \in \prod_{p \in \mathbb{P}}^{p \le A} \{ 0 .. K\} \} } n^{-s}$$

Define Q por, $$Q(A, K) = \{\prod_{p \in P}^{p \le A}p^{-v_p} : v \in \prod_{p \in \mathbb{P}}^{p \le A} \{ 0 .. K\} \}$$

Ningún número natural puede tener un factor mayor que él mismo. También la mayor potencia que puede tener para un factor primo es $N = 2^K$ , dando $K = \log_2(N)$ . Cada número de 1..N debe tener una factorización única, y esa factorización debe ser construida por Q.

$$\{1 .. N\} \subset Q(N, log_2(N))$$

Los números naturales positivos vienen dados por, $$\lim_{A \to \infty, K \to \infty}Q(A,K) = \mathbb{N+} = \{\prod_{p \in P}p^{-v_p} : v \in \prod_{p \in \mathbb{P}} \{ 0 .. \infty\} \}$$

Entonces, $$\prod_{p \in \mathbb{P}}^{p \le A} \frac{1- p^{-(K+1)s}}{1- p^{-s}} = \prod_{p \in \mathbb{P}}^{p \le A} (\sum_{k=0}^{K} p^{-ks}) = \sum_{n \in Q(A, K)} n^{-s}$$

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Tomar los límites, $$\lim_{A \to \infty, K \to \infty} \prod_{p \in \mathbb{P}}^{p \le A} \frac{1- p^{-(K+1)s}}{1- p^{-s}} = \prod_{p \in \mathbb{P}} \frac1{1- p^{-s}}$$

$$\lim_{A \to \infty, K \to \infty} \sum_{n \in Q(A, K)} n^{-s} = \sum_{n \in \mathbb{N^+}} n^{-s}$$

El orden de la suma no está prescrito por la suma. Las sumas infinitas pueden tener valores diferentes según el orden. Sin embargo, $$\sum_{1..n}^{\infty} n^{-s}$$ es absolutamente convergente para $\Re(s) > 1$ , lo que garantiza que la suma convergerá al mismo límite independientemente del orden. Así que $$\prod_{p \in \mathbb{P}} \frac1{1- p^{-s}} = \sum_{n \in \mathbb{N^+}} n^{-s} = \sum_{n = 1}^{\infty} n^{-s} = \zeta(s)$$

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Un enfoque alternativo compara el límite con, $\zeta(s)$ . Considera, $$\prod_{p \in \mathbb{P}} \frac1{1- p^{-s}}- \zeta(s)$$

Entonces, $$\lim_{A \to \infty, K \to \infty} \prod_{p \in \mathbb{P}}^{p \le A} \frac{1- p^{-(K+1)s}}{1- p^{-s}} - \lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} n^{-s}$$

O, $$\lim_{A \to \infty, K \to \infty} \sum_{n \in Q(A, K)} n^{-s} - \lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} n^{-s}$$

Así que, $$\lim_{N \to \infty} \sum_{n \in (Q(N, \log_2(N)) - \{1 .. N\})} n^{-s}$$

$s$ puede ser compleja, $s = u + it$ $$\lim_{N \to \infty} \sum_{n \in (Q(N, \log_2(N)) - \{1 .. N\})} n^{-u} e^{-it \ln(n)}$$

La magnitud es,

$$\lim_{N \to \infty} | \sum_{n \in (Q(N, \log_2(N)) - \{1 .. N\})} n^{-s} | <= \lim_{N \to \infty} \sum_{n \in (Q(N, \log_2(N)) - \{1 .. N\})} n^{-u}$$ $$<= \lim_{N \to \infty}\sum_{n=N+1}^{\infty} n^{-u} = 0$$

Como $\sum_{n=0}^{\infty} n^{-u}$ converge absolutamente para $u > 1$

Así que si $s = u + it \wedge u > 1$ , $$\prod_{p \in \mathbb{P}} \frac1{1- p^{-s}} = \zeta(s)$$