Submagmas de números naturales.

Question

¿Qué se sabe acerca de los submagmas de números naturales bajo suma / multiplicación?

Por ejemplo, todos los subgrupos de enteros bajo suma tienen la forma$~n \mathbb{Z}~$. ¿Hay resultados similares para los números naturales?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Esencialmente, esto se reduce a que el mismo problema que el de Frobenius número, que se define, para un conjunto de números naturales $S$ cuyas $\gcd$ es de 1 (pero que no son necesariamente pares coprime o nada), como el mayor número que puede escribirse como una suma de los mismos. Conocidos los resultados, es claro que, para cualquier conjunto finito $S$ el número existe, lo que implica que cualquier subsemigroup de los números naturales contendrá un conjunto de la forma $d \mathbb{N} + kd$ por entero$d$$k$.

Una simple prueba de este hecho es que no debe ser, a partir de la $\gcd$ de un conjunto $S$$1$, cierta suma $a_1s_1+a_2s_2+\ldots+a_ns_n=1$ donde$s\in S$$a\in \mathbb{Z}$. Por lo tanto, multiplicando los coeficientes por $c$, es posible escribir cualquier $c\in [1,s_1s_2\ldots s_n]$ como una suma de $S$ con coeficientes enteros - pero esto admite negativos de los coeficientes. Sin embargo, si el coeficiente de $s_i$ fueron negativos, podríamos añadir $s_1s_2\ldots s_{i-1}s_{i+1}\ldots s_n$ para el coeficiente de la misma, el aumento de la suma total por $s_1s_2\ldots s_n$, y si nos repite esto para cada coeficiente negativo que, eventualmente, podría tener una suma sólo con coeficientes positivos; esto implica que hay sólo un número finito de valor de $k$ en cualquier progresión aritmética $a+k s_1s_2\ldots s_n$ que no puede ser escrito como la suma de un número finito de generadores de un coprime conjunto, y, como un número finito de estos progresiones aritméticas de la partición de la serie, hay sólo un número finito de valores no se puede escribir como una suma de un conjunto.

Por tanto, tenemos que si tomamos cualquier subsemigroup $G$ y deje $d=\gcd(G)$ - lo cual está bien definido, ya que, si $A\subseteq B$, $1\leq\gcd(B)\leq\gcd(A)$ - a continuación, para algunos lo suficientemente grande como $k$ cada $K>k$ tienen $dK$$G$. Por lo tanto, cada subsemigroup es generada por un número finito de elementos, y tiene un subsemigroup $G'\subseteq G$ que es isomorfo a los números naturales y de tal manera que $G\backslash G'$ es finito.

No creo que mucho más se sabe sobre el tema - el de arriba le da un buen mango para estudiar más a fondo, ya que es característico de todos estos conjuntos como finitely generado, pero dado el hecho de que no se conoce ninguna forma cerrada para el número de Frobenius para los conjuntos de mayor tamaño de $3$, no hay mucho que se puede decir. Si usted tiene cualquier preguntas más específicas sobre la subsemigroups, yo estaría feliz de pensar en ellos.