Líneas tangentes a la curva dada.

Question

¿Podrías ayudarme a describir el conjunto?

$A = \{ (a,b) \in \mathbb{R}^2 \ : \ \text{curves} \ ax+by = 1 , \ x^m + y^m = 1 \ \ \text{are tangent} \}$,$m>1, \ a, b , x, y>0$

Sé que la ecuación de la tangente a una curva$f$ en el punto$x_0$ es

$y-f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)$

Se supone que$y=\frac{a}{b}x + \frac{1}{b}$ es tangente a$y=f(x)=(1-x^m)^{\frac{1}{m}}$

$f'(x)= -\frac{1}{m}(1-x^m)^{\frac{1-m}{m}}mx^{m-1}$

$\frac{a}{b}x + \frac{1}{b} = -\frac{1}{m}(1-x_0^m)^{\frac{1-m}{m}}mx_0^{m-1}(x-x_0) + (1-x_0^m)^{\frac{1}{m}}$

y

$\frac{a}{b}x_0 + \frac{1}{b} = (1-x_0^m)^{\frac{1}{m}}$

Esos son solo mis pensamientos.

¿Podrías decirme cómo resolverlo correctamente?

Gracias.

Answer 1

ok tenemos que desde la primera línea

$f(x)=(1-x^m)^{1/m}$

y la pendiente de esta a punto de $x$ es

$f'(x)= -\frac{1}{m}(1-x^m)^{\frac{1-m}{m}}mx^{m-1}$

y $y=a*x/b+1/b$

a continuación, tanto las pendientes deben ser iguales entre sí,lo que significa que

$f'(x)$ a punto de $x$ debe ser igual a $a/b$no tienen algún valor específico de $x_0$ o $m$ ? y, por supuesto, libre de término es igual a $1/b$,de acuerdo con la ecuación de la recta tangente a

$y=k*x+b$

EDITADO:

ejemplo encontrar la tangente de $y=x^2$ a punto de $x_0=2$

$f'(x_0)=2*x_0=4$

así tenemos

$y-f(x_0)=f'(x_0)*(x-x_0)$

o $y-4=4(x-2)$

o $y=4*x-4$

eso significa que si esta es la tangente de la curva de $y=f(x)$, $f'(x)$ en algún punto de $x_0=2$ debe ser igual a $4$gratis,término que hemos encontrado después de insertar el punto conocido

EDITADO: también preste atención a que $x_0$ no es igual a $1$,porque en este caso la pendiente es $0$,lo cual es imposible ya que ni $a$ o $b$ cero