Estrategia para integrales impropios relacionados con la función Beta 2

Question

Estoy buscando la solución de la siguiente integral.

PS

Realmente aprecio si alguien puede ayudar.

Answer 1

El cambio de las variables de $y = \frac{t^{1/a}}{1+t^{1/a}}$ la integral se convierte, denotando $\alpha=\frac{1}{a}$: $$\mathcal{I}= \alpha \int_0^\infty \log(1+t) \frac{t^{\alpha(k+1)}}{{(1+t^{\alpha})^{k+2}}} \frac{\mathrm{d}t}{t}$$ la integral puede ser pensado como Mellin de convolución de dos funciones de $\int_0^\infty G_1(t) G_2(t) \frac{\mathrm{d}t}{t}$, donde: $$G_1(t) = \log(1+t)\qquad G_2(t) = \alpha \frac{t^{\alpha(k+1)}}{{(1+t^{\alpha})^{k+2}}}$$ El uso de Plancherel teorema de la integral de la $\mathcal{I}$ puede ser escrito como la inversa de Mellin de transformación de productos de Mellin imágenes de $G_1$$G_2$: $$\mathcal{I} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i \infty} \hat{G}_1(-s) \hat{G}_2(s) \mathrm{d}s$$ donde $$\hat{G}_1(s) = \int_0^\infty t^{m-1} \log(1+t) \,\mathrm{d}t = \frac{\pi}{s} \frac{1}{\sin\left(\pi s\right)} \quad \text{ convergente para } -1 < \Re(s)<0$$ $$\hat{G}_2(s) = \int_0^\infty t^{m-1} \alpha \frac{t^{\alpha(k+1)}}{{(1+t^{\alpha})^{k+2}}} \,\mathrm{d}t = \frac{\Gamma\left(1 - s\ \ derecho) \Gamma\left(1+k + a s\right)}{\Gamma(k+2)} \,\, \text{ para } -\alpha(k+1) < \Re(s)<\alpha$$ y $\gamma$ siendo una constante real arbitraria, sujeto a $0<\gamma<\min(1,\alpha)$: $$\mathcal{I} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i \infty} \frac{\pi}{s} \frac{1}{\sin\left(\pi s\right)} \frac{\Gamma\left(1 - s\ \ derecho) \Gamma\left(1+k + a s\right)}{\Gamma(k+2)} \mathrm{d}s$$ La integral anterior es conocido como el Zorro H-función, el uso de $\frac{\pi}{s} \frac{1}{\sin\left(\pi s\right)} = \Gamma(1-s)\frac{\left(\Gamma(s)\right)^2}{\Gamma(s+1)}$: $$\mathcal{I} = \frac{1}{\Gamma(k+2)} H_{3,3}^{3,2}\left( 1 \left| \begin{array}{ccc} \left(0,1\right) & \left(0,a\right) & \left(1,1\right) \\ (0,1) & (0,1) & (k+1, a) \end{array} \right. \right)$$ Para $a=1$ la respuesta es dada como $$\mathcal{I}(k,1) = \frac{H_{k+1}}{k+1}$$ donde $H_k$ es el número Armónico, y para $a=2$, la respuesta es, en términos de la Meijer la función G: $$\mathcal{I}(k,2) = \frac{2^k }{\pi (k+1)!} G_{4,4}^{4,3}\left(1\left| \begin{array}{c} 0,0,\frac{1}{2},1 \\ 0,0,\frac{k+1}{2},\frac{k+2}{2} \\ \end{array} \right.\right)$$ lo que probablemente se puede simplificar más: $$\mathcal{I}(k,2) = \frac{2}{k+1} H_{k+2} - \frac{4}{k+1} \Im \left( \Phi \left( \sqrt{2} \mathrm{e}^{i \pi/4}, 1, k+3 \right) \right)$$ donde $\Phi$ es el Lerch trascendente.