Me cuesta entender cómo Carroll ( El espacio-tiempo y la geometría, p.296) explica el efecto del paso de una onda gravitacional sobre las partículas de prueba.
Si tenemos dos geodésicas con tangentes $\vec{U}$ , $\vec{U'}$ que comienzan paralelos y cercanos entre sí, y $\vec{S}$ es un vector que conecta una geodésica con otra en valores de parámetros afines iguales, entonces la ecuación de desviación geodésica es: \begin{align*} \frac{D^2}{d\tau^2}S^\mu = R_{\ \ \nu\rho\sigma}^\mu U^\nu U^\rho S^\sigma. \tag{7.103} \end{align*} Trabajamos en el límite de campo débil y en el gauge sin tracción transversal. Si suponemos que nuestras partículas en las geodésicas se mueven lentamente, entonces $$\vec{U} \approx (1,0,0,0),\tag{7.104}$$ Así que..: \begin{align*} \frac{D^2}{d\tau^2}S^\mu = R_{\ \ 00\sigma}^\mu S^\sigma.\tag{*} \end{align*} Ahora la parte que no entiendo es cómo Carroll es capaz de convertir la doble derivada covariante de la izquierda en una simple doble derivada con respecto a $t$ : \begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial t^2}S^\mu = R_{\ \ 00\sigma}^\mu S^\sigma.\tag{**} \end{align*} El razonamiento de Carroll es que "para nuestras partículas de movimiento lento tenemos $\tau = x^0 = t$ a la orden más baja" pero no sé a qué se refiere. No entiendo por qué los símbolos de Christoffel desaparecen en las derivadas covariantes. He leído varios libros sobre esto. Algunos dicen que los símbolos de Christoffel desaparecen porque trabajamos en un marco inercial local. Pero entonces, ¿por qué no desaparece también el tensor de Riemann en el lado derecho?
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¿Intentaste computarlo explícitamente y usar $S^{\mu}=U^{\prime \mu}-U^{\mu}$ .
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Yo diría que el $\frac{D^2}{d \tau^2}=\frac{\partial d^2}{dt^2}$ y $\tau=t$ es el $ \Gamma \Gamma$ se desprecia, mientras que el tensor de curvatura de Riemann sigue siendo distinto de cero bajo esta aproximación.