Una convolución como ecuación integral.

Question

Me gustaría resolver la siguiente ecuación integral para $g(z)$. $$\int_z^\infty g(\zeta)(\zeta-z)^{\alpha-1} d\zeta = e^{-bz}, \tag{1}$$ donde $\alpha$ $b$ son constantes.

También me gustaría saber las técnicas para la resolución de $g$ en el más general de la ecuación $$\int_z^\infty g(\zeta)h(\zeta-z) d\zeta = f(z), \tag{2}$$ para $f$$h$.

Podemos poner la segunda ecuación en la forma alternativa $$\int_0^\infty g(z(x+1))h(x) dx = f(z). \tag{3}$$ No sé si ayuda aunque.

Puse la ecuación de $(2)$ en el formulario $$\int_{-\infty}^\infty g(\zeta)\Theta(\zeta-z)h(\zeta-z) d\zeta = f(z),$$ donde $\Theta$ es la función escalón unitario, lo que sugiere el uso de la transformada de Fourier aplicado a la convolución. Sin embargo, para el tipo de $h$ $f$ como en la ecuación $(1)$, la transformada de Fourier $F[g](k) = \int_{-\infty}^\infty g(x)e^{ikx}dx$ es divergente, por tanto, no claramente definida. Tal vez necesito conseguir $k$ en el plano complejo para hacer la transformación sensible de los tipos de funciones.

He probado la transformada de Laplace que es un caso especial de la transformada de Fourier. No parece trabajar a causa de los límites de la integración. Tal vez alguien puede transformar la forma de la integral para hacer que funcione.

Tal vez hay un método más directo. Alguna idea?

Answer 1

Considere la posibilidad de $$\int_z^\infty g(\zeta)(\zeta-z)^{\alpha-1} d\zeta = f(z), \tag{1}$$ donde se Re$(\alpha)>0$.

Por ahora suponemos $f(z)=0$$z<0$.

Reescribir la ecuación de $(1)$ $$\int_{-\infty}^\infty g(\zeta)(\zeta-z)_+^{\alpha-1} d\zeta = f(z), \tag{1.1}$$

La transformada de Fourier de la ecuación de $(1.1)$. $$F[x_+^{\alpha-1}](-k)F[g](k) = F[f](k), \tag{2}$$ donde $F[f](k)$ representa la transformada de Fourier en variable compleja $k$ de la función $f$. La dificultad se mencionó en la pregunta sobre la convergencia de la transformada de Fourier de funciones como la función exponencial puede ser eludido, ya sea por la limitación de primera el apoyo de la función de a, digamos, el positivo del eje, o ampliar la función de espacio de Gelfand-Shilov espacio, o simplemente seguir adelante sin tener que preocuparse acerca de la convergencia.

$$F[x_+^{\alpha-1}](-k) = \int_0^\infty e^{-ikx}x^{\alpha-1} dx = (ik)^{-\alpha}\Gamma(\alpha), \,\mbox{Im}(k)<0, \tag{3}$$ cuando el contorno es deformada en el eje real.

$$F^{-1}\Big[\frac{(ik)^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\Big](x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(-\alpha)}(-x)_+^{-\alpha-1}. \tag{4}$$ Por lo tanto, $g$ sería la convolución de los productos de $(4)$$f$, o

$$g(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(-\alpha)}\int_0^\infty y^{-\alpha-1}f(x+y)dy$$ (continuará, como la izquierda límite no convergen, y por lo tanto no debe ser otro plazo para cancelar la singularidad.)

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El siguiente es un método directo que está inspirada en la de arriba la transformada de Fourier.

Integrar ambos lados con respecto a $dz(x-z)^{\beta-1}$, Re$(\beta)>0$ $$\int_x^\infty dz (z-x)^{\beta-1}\int_z^\infty g(\zeta)(\zeta-z)^{\alpha-1} d\zeta =\int_x^\infty d\zeta g(\zeta)\int_x^\zeta dz (z-x)^{\beta-1}(\zeta-z)^{\alpha-1}=\int_x^\infty dz (z-x)^{\beta-1}f(z),$$ donde la primera igualdad proviene de cambio de orden de integración (mediante la comprobación de las condiciones del teorema de Fubini, que pueden requerir más regularidad condiciones en $g$, lo que voy a hacer ahora mismo). $$\int_x^\zeta (z-x)^{\beta-1}(\zeta-z)^{\alpha-1}dz = (\zeta-x)^{\alpha+\beta-1}\int_0^1 t^{\beta}(1-t)^\alpha dt=(\zeta-x)^{\alpha+\beta-1} B(\beta,\alpha),$$ donde $B$ es la función Beta. Así, mediante el establecimiento $\beta=1-\alpha$, tendremos $$B(1-\alpha,\alpha)\int_x^\infty d\zeta g(\zeta) = \int_0^\infty z^{-\alpha}f(x+z)dz,$$ y $$g(x) = -\frac{1}{B(1-\alpha,\alpha)}\int_0^\infty z^{-\alpha}f'(x+z)dz. \tag{2}$$

Para el problema original $f(z) = e^{-bz}$, la ecuación de $(2)$ se convierte en $$g(x) = \frac{b^\alpha e^{-bx}}{\Gamma(\alpha)},$$ donde $\Gamma$ es la función Gamma.

Por lo tanto, resulta $e^{-bz}$ es un eigenfunction de la integral operador $\int_z^\infty d\zeta (\zeta-z)^{\alpha-1}g(\zeta)$ en función de $g(z)$.

Answer 2

Reescribir (1) como $$ (1-p)G(z) + p\int_z^{\infty} G(\zeta) (\zeta - z)^{\alpha-1} \ \mathrm{d}\zeta = \mathrm{e}^{-\beta z}, $$ Ahora vamos a $G(z,p) = G_0 +pG_1+p^2G_2 + \ldots$ $g(z) = \displaystyle{ \lim_{p \rightarrow 1}} \ G(z,p).$

La coincidencia de los coeficientes de las potencias de $p$ da \begin{align} p^0:& \qquad G_0 = \mathrm{e}^{-\beta z}, \\ p^1:& \qquad G_1 - G_0 = -\int_z^{\infty} G_0(\zeta) (\zeta - z)^{\alpha-1} \ \mathrm{d}\zeta, \end{align} haciendo la sustitución de aquí de $ u=\beta(\zeta - z)$, llegamos a \begin{align} G_1 - \mathrm{e}^{-\beta z} &= -\frac{\mathrm{e}^{-\beta z}}{\beta^{\alpha}} \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{- u}u^{\alpha-1} \ \mathrm{d}\zeta,\\ G_1 &= \mathrm{e}^{-\beta z}\left( 1-\frac{\Gamma(\alpha)}{\beta^\alpha}\right). \end{align} Tenga en cuenta que esta es una constante en varios de $G_0$, lo que sugiere $$G_n = \mathrm{e}^{-\beta z}\left(1-\frac{\Gamma(\alpha)}{\beta^\alpha}\right)^n$$ Sumar la serie y dejando $p \rightarrow 1$ nos da una serie geométrica donde $$ g(z) = \frac{\mathrm{e}^{-\beta z}}{1-\left(1-\frac{\Gamma(\alpha)}{\beta^\alpha}\right)}, $$ o $$g(z) = \frac{\beta^{\alpha}\mathrm{e}^{-\beta z}}{\Gamma(\alpha)},$$ lo cual está de acuerdo con el otro método.

Tenemos la restricción de que $$ -1<\frac{\Gamma(\alpha)}{\beta^\alpha}-1 < 1 $$ para la convergencia.

(La frase siguiente ya no se aplica y la convergencia de dominio es un subconjunto de lo que se espera, como el homotopy operador ha sido modificado a la luz de un comentario más abajo.) Esta es una extraña condición, implica que el $\lfloor\alpha\rfloor$ es negativo entero impar, de acuerdo a la gráfica de la función gamma.

Answer 3

Aquí hay otra solución.

Deje $S$ ser un operador en alguna función del espacio aún no se prescribe tal que $Sh(z)=\int_z^\infty d\zeta (\zeta-z)^{\alpha-1}h(\zeta)$ a un miembro de la función $h$ de ese espacio. Suponga $S$ es invertible. $$Sg = f$$ $$\implies $$ $$g=S^{-1}f=(C-(C-S))^{-1}f=(I-(I-C^{-1}S))^{-1}C^{-1}f=\sum_{i=0}^\infty (I-C^{-1}S)^i C^{-1}f, \tag{1}$$ para algunos es invertible operador $C$ e si $\|(I-C^{-1}S)^i\|<1$ para la prescripción de la función del espacio,

Ahora para esta función en particular, en el espacio $\{f(z)=e^{-bz}|\mbox{Re}(b)>0\}$, $Sf = b^{-\alpha}\Gamma(\alpha)f$ una multiplicación escalar, o en otras palabras, la función exponencial en el espacio es una eigenfunction espacio de $S$. Elegir, por ejemplo, de un arbitrario operador de multiplicación $C=c$ por una constante $c$ (positiva o negativa), $I-C^{-1}S = 1-c^{-1}b^{-\alpha}\Gamma(\alpha)$. Tan largo como $0<c^{-1}b^{-\alpha}\Gamma(\alpha)<2$, la ecuación de $(1)$ converge y a $S^{-1}$, que en este eigenfunction espacio es simplemente la inversa de la original autovalor, o $$g(z) = S^{-1}e^{-bz}=\frac{b^\alpha}{\Gamma(\alpha)}e^{-bz}.$$