¿Por qué no existe un límite infinito?

Question

Leí en Stewart "single variable calculus" página 83 que el límite $$\lim_{x\to 0}{1/x^2}$$ no existe . ¿Cómo de precisa es esta afirmación sabiendo que este límite es $\infty$ ?. Pensaba que decir que el límite no existe no es cierto cuando los límites son $\infty$ . Pero se dice cuando una función no tiene límite en absoluto como $$\lim_{x\to \infty}{\cos x}$$ .

Answer 1

Según algunas presentaciones de los límites, es adecuado escribir " $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=\infty$ ."

Esto sí no comprometer uno a la existencia de un objeto llamado $\infty$ . La frase es sólo una abreviatura de "dado cualquier número real $M$ hay un número real $\delta$ (que dependerá de $M$ ) tal que $\frac{1}{x^2}\gt M$ para todos $x$ tal que $0\lt |x| \lt \delta$ ." Resulta que a menudo queremos escribir frases de este tipo, porque tienen un contenido geométrico importante. Así que tener una abreviatura es innegablemente útil.

Por otra parte, algunas presentaciones de los límites prohíben escribir " $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=\infty$ ." Cuestión de gustos, elección pedagógica. La razón principal para elegir la prohibición es que la manipulación descuidada del símbolo $\infty$ con demasiada frecuencia conduce a respuestas erróneas.

Answer 2

Un límite

$$\lim_{x\to a} f(x)$$

existe si y sólo si es igual a un número. Nótese que $\infty$ no es un número. Por ejemplo $\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^{2}} = \infty$ por lo que no existe.

Answer 3

Cuando una función se aproxima al infinito, el límite técnicamente no existe por la propia definición, que exige que sea un número. Simplemente ampliamos nuestra notación en este caso concreto. La cuestión es que el límite puede no ser un número, pero se comporta algo bien y las asíntotas suelen ser dignas de mención.

Answer 4

El término "límite infinito" es en realidad un oxímoron, como "gamba gigante" u "opinión imparcial". Los verdaderos límites son finitos.

Sin embargo, está bien escribir "lim f(x) = infinito" o "lim g(x) = -infinito", si la función dada se aproxima o bien a más infinito o bien a menos infinito por AMBOS lados de lo que se aproxima x, especialmente para distinguir esto de la situación en la que se aproxima a más infinito por UN lado y a menos infinito por el OTRO, en cuyo caso la ÚNICA respuesta correcta sería "el límite no existe".

Answer 5

Nótese que trabajando en los números reales afinamente extendidos con la topología de orden inducido este límite existe y es igual a infinito, sin ambigüedades. Tampoco necesitamos una definición "especial" para los límites infinitos con este método, lo cual es conveniente.