Haciendo sustituciones trigonométricas riguroso

Question

He sido tutoría básicos de cálculo, y me hizo pensar acerca de algo bastante básico.

Permítame explicarle el problema, por ejemplo:

Decir que somos dada la integral $\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\ \mathrm dx$. Luego se acostumbra a escribir $x=\cos(\alpha), \mathrm dx=-\sin(\alpha)\ \mathrm d\alpha$. Así: $$\begin{align*} \int \frac{\cos^2(\alpha)}{\sqrt{\sin^2(\alpha))}}(-\sin(\alpha))\ \mathrm d\alpha&=-\int\frac{\cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)}\sin(\alpha)\ \mathrm d\alpha\\ y=-\int \cos^2(\alpha)\ \mathrm d\alpha\\ y=-\int\frac{1+\cos(2\alpha)}{2}\ \mathrm d\alpha\\ y=-\frac{\alpha}{2}-\frac{\sin(2\alpha)}{4}\\ y=-\frac{\alpha}{2}-\frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{2}. \end{align*}$$

Sabemos enchufe en $\alpha=\arccos(x)$. Es de izquierda a saber lo que $\sin(\arccos(x))$ es.

Para ello, ahora se pretende que $0\leq \alpha\leq \frac{\pi}{2}$ y dibujar un triángulo que se muestra a través del teorema de Pitágoras que $\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}$.

De la misma manera hay el común de las sustituciones $x=\tan(\alpha)$ y $x=\s(\alpha)$.

Esta técnica parece ser menos riguroso. Aquí están algunos de mis problemas con él:

1. Al principio parecía que me gusta de este es de $u$-sustitución en reversa (creo que $x$ desempeña el papel de $u$ y $\alpha$ desempeña el papel de $x$). Pero en $u$-sustitución, si la sustitución es de $u=g(x)$, a continuación, finalmente nos conecte $g(x)$ en vez de $u$. Pero aquí se invierten los roles. Así que parece que esto realmente es ordinario $u$-sustitución. Pero entonces eso significa que la sustitución es de $\alpha=\arccos(x)$ -- sin embargo, hay muchas maneras de elegir los inversos $\cos$ y $\arccos(x)$ es sólo uno de ellos. Estamos realmente elegir sólo una?

2. Me siento incómodo con $\sqrt{\sin^2(x)}=\sin(x)$. Lo que si $\sin(x)$ es negativo? ¿Qué está pasando aquí? Es el tema que estamos trabajando en un segmento donde $\sin(x)$ es positivo, hacer toda la cosa, y, a continuación, después de recibir una respuesta de que hagamos algún argumento el uso de continuación analítica? O es quizá el tema que estamos buscando en $-1<x<1$ (debido a que es donde $\sqrt{1-x^2}$ es definida), y por lo que $\arccos(x)$ iría desde $0$ a $\pi$ donde $\sin(x)$ es positivo? Sería este extraño argumento también funciona para otras sustituciones trigonométricas?

3. La parte del final donde hemos de averiguar cuál es la función trigonométrica de un trigonométricas inversas función es (en mi ejemplo $\sin(\arccos(x))$ es sospechoso para mí. Para averiguar puedo dibujar un triángulo, que parece asumir $\arccos(x)$ es de entre $0$ y $\frac{\pi}{2}$. Lo que está pasando allí.

Así que, mientras yo estoy muy familiarizado con el método, la tutoría se me hizo darme cuenta de que no estoy seguro de lo que realmente está detrás de él. Podría ser algo tan complicado como una continuación analítica detrás de ella? Es allí una manera uniforme de explicar este método con respecto a las sustituciones $x=\cos(\alpha), x=\tan(\alpha)$ y $x=\s(\alpha)$?

Answer 1

1. Sí, en un sentido, es como un $u$-sustitución "a la inversa". Sin embargo, realmente no hay problema aquí, siempre y cuando usted tiene cuidado (esto también va a cuidar de su emisión en la 2).

   Usted puede pensar que de manera integral se está viendo como lo que se habría conseguido si había comenzado con la integral $$\int\frac{-\sin\alpha\cos\alpha\,d\alpha}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}},$$ y había tratado de la sustitución de $u=\cos\alpha$; y el trigonométricas sustitución simplemente te lleva de vuelta a este después de una sustitución que no funcionó tan bien.

   En tu ejemplo, para la integral se define usted debe tener $x\in (-1,1)$. Esto significa que cada valor de $x$ puede escribirse de forma única como $x = \cos(\alpha)$ $\alpha\en (0,\pi$. Ahora, porque queremos que la sustitución ser reversible, tenemos que especificar esto. Pero esto también asegura que la "correcta" inversa es de $\arccos(x)$.

2. Ahora, de hecho, $\sqrt{\sin^2 \alpha} = |\sin \alpha|$, $\sin \alpha$. Pero, recuerde que fuimos restringir $\alpha$ a mentir en $(0,\pi$. En ese intervalo, $|\sin\alpha|=\sin\alpha$, por lo que en efecto se puede colocar el valor absoluto de barras. Y sí, este argumento también funciona para cualquier trigonométricas sustitución: si se va de $\sqrt{a^2-x^2}$, $x$ mentir en $[-a,a]$ o $(-a,a)$, por lo que la sustitución de $x=\sin\alpha$ $- \pi/2\leq \alpha\leq \pi/2$ garantiza el coseno es positivo; la sustitución $x=a\cos\alpha$ $\alpha\[0,\pi]$ garantiza el seno es positivo.

   Cuando se utiliza la sustitución $x = a\tan\theta$, igual para restringir a los "principales" de la rama de la tangente, en $-\pi/2\lt \theta\lt \pi/2$, donde el inverso es de $\arctan(x)$, y la secante es positivo (lo que $\sqrt{1+\tan^2\theta} = \sec\theta$).

   La difícil es $x=a\sec\theta$; se va a restringir a $[0,\pi/2)\cup(\pi/2,\pi]$. Cuando no hay radicales involucrados, es probable que desee evitar esta identidad de todos modos; cuando hay radicales, como $\sqrt{x^2-a^2}$, es necesario tomar en cuenta que el dominio consta de dos intervalos disjuntos, $(-\infty,-a]$ y $[a,\infty)$; $0\leq\theta\lt \pi/2$ en el último, y $\pi/2\lt\theta\leq\pi$ para el primero. Que estamos en determina si $\tan(\theta)$ es positivo o negativo. Añadido. A veces usted quiere elegir diferentes intervalos para garantizar el trabajo de señales fuera de la derecha, aunque.

3. Dibujo de un triángulo es un simple recurso mnemotécnico, pero puede ser justificado puramente algebraica. Desea encontrar $\sin(\arccos(\alpha))$. Bien, $$1 = \sin^2(\arccos(\alpha)) + \cos^2(\arccos(\alpha)) = \sin^2(\arccos(\alpha)) + \alpha^2,$$ por lo tanto $\sin^2(\arccos(\alpha)) = 1 - \alpha^2$. Recordar que $\arccos(\alpha)$ siempre está en $[0,\pi]$, se sigue que $\sin(\arccos(\alpha)) = \sqrt{1-\alpha^2}$. Manipulación Similar de la norma identidades trigonométricas de trabajo para otras sustituciones trigonométricas.

Answer 2

1. Cualquier rama de la inversa del coseno funcionan siempre de la misma opción se utiliza constantemente en todas las fórmulas más tarde.

2. No hay ninguna elección arbitraria del signo de la función trigonométrica, solo consistencia en mantener lo firman convenio fue especificado como parte del significado de la original de $x$ integral. La definición de la $x$ integrando implica una elección de signo de la función de raíz cuadrada en $\sqrt{1-x^2}$. Sea cual sea la elección, tiene que ser mantenido cuando la reescritura de que la función $\sqrt{1-\cos^2{\alpha}}$. Supongamos que la raíz cuadrada positiva fue la intención; entonces $\sqrt{1-\cos^2} = |\pecado|$, no importa qué ángulo aparece en el "interior" de la función seno. Así que esta es una cuestión independiente de la elección de $\alpha$.

3. Sí, $\sin( \arccos x)$ es no se determina únicamente (por ejemplo, usando $-\alpha$ o $2\pi \alpha$ como una alternativa de $\arccos$ se invierte el signo de $\sin \arccos x$). Pero un cálculo cuidadoso de mantener opciones coherentes como en los puntos 1 y 2 anteriores, se utilizan sólo $|\sin(\alpha)|$ o de otras cantidades que son funciones de $\cos(\alpha)$ (es decir, $x$) solo, así que esta aparente ambigüedad es una ilusión. Después de todo, el proceso se inició a partir de una función de $x$ solamente. Lo de los reemplazos de $x$ cantidades por $\alpha$ cantidades se realizan, si remonta a $x$ paso por paso, en última instancia, son calculables a partir de $\cos \alpha$, y por lo tanto no dependen de la elección de $\alpha$.

Estos comentarios se aplican a cualquier trigonométricas (u otros) sustituciones que impliquen decisiones o una aparente dependencia de la post-sustitución de los cálculos en las elecciones. Si todas las opciones son explícitos y se realiza de manera consistente no debe haber ninguna ambigüedad.

Además, no hay ninguna dirección de avance o retroceso en la sustitución, excepto en un sentido psicológico que una integral es dado, y el otro es pensado como una simplificación. La relación $\cos(\alpha) = x$ se traduce integrales en $\alpha$ a de las integrales en $x$, y viceversa. La variable que se considera como un reemplazo de los otros es irrelevante y no afecta a los cálculos.

Answer 3

Recuerde la regla de la cadena:

$$F(g(x))' = f(g(x))g'(x)$$

Entonces

$$\begin{align} \int_a^b F(g(x))'dx &= \int_a^b f(g(x))g'(x)dx\\ F(g(b)) - F(g(a)) &= \int_a^b f(g(x))g'(x)dx\\ \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)dt &= \int_a^b f(g(x))g'(x)dt \etiqueta{1} \end{align}$$

A continuación, con el fin de integrar una función como:

$$\int_1^2 \frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}dx$$

Usamos $(1)$

$$\int_1^2 \frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}dx = \int_{g^{-1}(1)}^{g^{-1}(2)} \frac{\sqrt{9-(3\sen t)^2}}{(3\sen t)^2}3\cos t \ \mathrm dt$$

Desde que dejamos de $g(a) = 1$ y $g(b)=2$, tenemos que encontrar $a = g^{-1}(1)$ y $b = g^{-1}(2)$. Desde que elegir $g(t) = 3\sin(t)$, a la inversa, si $g^{-1}(t) = \arcsin (\frac{t}{3})$. Si definimos el $\sin t$ función $-\frac{\pi}{2}\le t \le\frac{\pi}{2}$. Entonces, podemos simplificar la integral de la RHS:

$$\int_{\arcsin (\frac{1}{3})}^{\arcsen (\frac{2}{3})} \frac{\sqrt{9-(3\sen t)^2}}{(3\sen t)^2} 3\cos t \ \mathrm dt = \int_{\arcsin (\frac{1}{3})}^{\arcsen (\frac{2}{3})} \frac{|3\cos t|}{9\sin^2 t} 3\cos t \ \mathrm dt = \int_{\arcsin (\frac{1}{3})}^{\arcsen (\frac{2}{3})} \cot^2 t \ \mathrm dt\\ = \Bigr[-\cuna t - t \Bigr]_{\arcsin(\frac{1}{3})}^{\arcsen(\frac{2}{3})} = -\cuna \arcsin \frac{2}{3} - \arcsin \frac{2}{3} + \cuna \arcsin \frac{1}{3} + \arcsin \frac{1}{3}$$

Podemos hacer la simplificación $|3\cos t|3\cos t = 9\cos^2 t$ porque en el intervalo $-\frac{\pi}{2}\le t \le\frac{\pi}{2}$ tenemos $0\le \cos t \le 1$