un teorema de límite central relacionado con el ejercicio

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema en Durrett:

Deje que$X_1, X_2, ...$ sea iid, no negativo,$EX_i=1$ y$Var(X_i)=\sigma ^2$. Luego, tenemos$2(\sqrt{S_n}-\sqrt{n})$ que converge a$\sigma \chi$ en la distribución, donde$S_n=\Sigma_{i=1}^{n}X_i$.

Estaba pensando en usar el teorema del límite central para esto, pero parece que se necesita algún tipo de transformación. Y tiene que conectar el$S_n$ original con$\sqrt{S_n}$, mientras que no sé cómo. ¿Podría pedir una pista? Muchas gracias.

Answer 1

Sugerencia: $$2(\sqrt{S_n}-\sqrt{n})=\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}+o_p(1)$ $

Primero, $\frac{S_n}{n}\rightarrow^p 1$. Usando el teorema del valor medio (expandiendo$\sqrt{S_n/n}$ alrededor de 1)

$$2\sqrt{n}\left(\sqrt{S_n/n}-1\right)=2\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{V_n}}(\frac{S_n}{n}-1)-1\right)$ $$$=\frac{1}{1+o_p(1)}\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}$ $

donde$V_n$ se encuentra entre$S_n/n$ y$1$.