Si una función es diferenciable por la izquierda y por la derecha en todas partes, ¿en qué medida pueden estar en desacuerdo los derivados unilaterales?

Question

Sólo por diversión, me estaba dando algunos resultados sobre funciones convexas el otro día. Yo era capaz de mostrar que, para un conjunto convexo $E\subseteq\Bbb R,$ si $f:E\to\Bbb R$ es convexa, entonces $f$ es de izquierda y derecha-derivable (y por lo tanto continua) en el interior de $E$ (aunque no tiene por qué ser aún continua en cualquier límite de puntos contenidos en $E$). Por otra parte, si $x_0$ es un punto interior de a$E,$, entonces la izquierda derivado de la $f$ $x_0$ no es mayor que el derecho derivado de la $f$ $x_0.$

Soy consciente (aunque no he tenido la oportunidad de probar) que la izquierda y la derecha derivada de esta función en $f$ está en desacuerdo en no más de countably-muchos puntos, pero eso me pregunto acerca de una más general resultado.

Dado un abierto convexo subconjunto $E\subseteq\Bbb R$ y una (no necesariamente convexa) la función $f:E\to\Bbb R$ tal que $f$ es de izquierda y derecha - diferenciable en cada punto de $E,$ podemos concluir que $f$ no puede ser diferenciable en no más de countably-muchos puntos de $E,$ o necesitamos más información acerca de $f$ para llegar allí? Lo que si sabemos que el derecho derivado domina la izquierda derivados en todas partes? Es posible que el derecho derivado estrictamente domina la izquierda derivados en todas partes?

Answer 1

Sí. El teorema 17.9 de los Análisis Real y Abstracto de Hewitt y Stromberg establece: deje que$(a,b)$ sea cualquier intervalo abierto de$\Bbb R$ y sea$f$ una función de valor real arbitraria definida en$(a,b)$. Entonces, solo existen contablemente muchos puntos$x\in(a,b)$, de manera tal que$f′_+(x)$ y$f′_-(x)$ ambos existen [pueden ser infinitos] y no son iguales.