¿Por qué necesitamos conexiones, si tenemos el derivado de la mentira?

Question

Cuando me enteré de la derivada covariante, fue motivado como una forma de definir una buena diferenciación de operación en los tensores. Para ello, hemos tenido que definir una conexión en el colector, la cual fue un importante pedazo de la estructura.

Sin embargo, la Mentira de derivados requiere ninguna conexión en absoluto; sólo se requiere de un campo de vectores $V^\mu$ definido en el colector. En particular, dado que ya hemos elegido coordenadas, podemos definir la Mentira de derivados en cualquier dirección $n^\mu$ utilizando el vector de campo $V = n^\mu \partial_\mu$, lo que requiere de ninguna estructura. A continuación, $\mathcal{L}_V$ parece ser perfectamente un buen reemplazo para $n^\mu \nabla_\mu$. Al menos, no todo lo que los libros dicen que la derivada covariante estaba destinado a hacer. Ignorando todas las cosas de la derivada covariante termina de acostumbrarse, no sé por qué habríamos introducido en el primer lugar.

Qué buenas propiedades no $n^\mu \nabla_\mu$ tiene que $\mathcal{L}_{n^\mu \partial_\mu}$ no?

Answer 1

Una característica distintiva es que la conexión de $\nabla$ tiene el tensor de la propiedad de campo en su primera entrada $\nabla_{fX}=f\nabla_{X}$, mientras que la Mentira derivado no. Tenemos ${\cal L}_{fX}\neq f{\cal L}_{X}$ genéricamente.

Ya hay manifiestamente covariante explicaciones de Matemáticas.SE y Mathoverflow.SE. Vamos a por simplicidad consideremos un local de coordenadas parche $U$ con coordenadas $x^{\mu}$. El tensor de campo de propiedad implica que la derivada covariante $\nabla_{X}=X^{\mu}\nabla_{\mu}$ es totalmente determinar por algunos derivadas direccionales $\nabla_{\mu}$. No así para la Mentira derivados.

Decir que nos da una métrica campo tensorial $g$ y algunas campo tensorial $T$. Supongamos por simplicidad que el tensor de campo de los componentes de la $g_{\mu\nu}$ $T^{\mu_1 \ldots \mu_r}{}_{\nu_1 \ldots \nu_s}$ en el sistema de coordenadas local son constantes, es decir, $x$independiente. Deje $\nabla$ ser la de Levi-Civita de conexión. A continuación, $\nabla_Xg=0$ $\nabla_XT=0$ como cabría esperar de una derivada direccional (ya que después de todo, el campo de tensores componentes son constantes en un sistema de coordenadas). Pero ${\cal L}_{X}g\neq 0$ ${\cal L}_{X}T\neq 0$ genéricamente.