¿Por qué funciona esta solución?

Question

Tengo la siguiente pregunta:

En el laboratorio de investigación trabajan 15 técnicos y 11 químicos. ¿De qué manera podrían formar un comité de seguridad de 5 miembros si el comité:

a) puede ser elegido de cualquier manera
b) debe tener exactamente un técnico?
c) debe tener exactamente un químico
d) debe tener exactamente dos químicos
e) pueden ser todos los técnicos o todos los químicos

Para resolver las preguntas, he utilizado $\binom{n}{r}$ en alguna variación. Por ejemplo, para (b) hice $ \binom{15}{1}*\binom{11}{4} $ .

Al ver a un amigo resolver una pregunta similar a esta, me di cuenta de que la parte superior de la ecuación era igual a la cantidad total de técnicos y químicos, por ejemplo $26$ . Por lo tanto, la parte superior tiene que sumar siempre 26. Dado que el sólo puede seleccionar $5$ personas en el comité, la parte inferior tiene que sumar $5$ . Por lo tanto, para cada una de las preguntas, hice exactamente eso. Mantuve el equivalente superior a $26$ y la parte inferior equivalente a $5$ .

Por ejemplo, para (c) hice $\binom{15}{4} * \binom{11}{1}$ lo cual es correcto, pero no entiendo cómo funciona o, lo que es más importante, por qué funciona y cuál es la lógica que hay detrás.

¿Puede alguien explicar esto?

Muchas gracias por su tiempo.

Answer 1

Para (c), se puede ver que la respuesta es $$\small\underbrace{(\#\text{ of ways of choosing the 1 chemist out of 11 chemists})}_{\Large\binom{11}{1}}\underbrace{(\#\text{ of ways of choosing the 4 techs out of 15 techs})}_{\Large\binom{15}{4}}$$ (las otras 4 personas elegidas deben ser técnicos, porque el problema especifica exactamente un químico)

Para (a), dado que no estamos distinguiendo entre los dos subgrupos de personas, la respuesta es simplemente $$(\#\text{ of ways of choosing 5 people out of 26 people})=\binom{26}{5}$$

Sin embargo, en el caso de (e), no estoy seguro de estar interpretando la pregunta correctamente; ¿por qué la parte (e) utiliza "puede", cuando las otras partes utilizan "debe"? ¿Significa eso que (e) está preguntando "de cuántas maneras hay que el comité sea todo técnico, o todo químico, o una mezcla", en cuyo caso es lo mismo que la parte (a)?