En lugar de hablar acerca de la categoría de la forma de definir monomorphism. Quería ver si tengo la intuición correcta con respecto a monomórficas función. Una función de $f : A \rightarrow B$ dijo ser monomórfica si para todos los conjuntos de $Z$ y para todas las funciones que $\alpha_1,\alpha_2 : Z \rightarrow A$ tal que $f \circ \alpha_1 = f \circ \alpha_2 \implies \alpha_1 = \alpha_2$. La manera de imaginar lo que esto hace es que las funciones envía "espacios" a "espacios" en un uno-a-uno de la moda. He demostrado que ser inyectiva y monomórficas en realidad es el mismo. Sin embargo, me gustaría obtener una intuición que lleva a categorías.
Respuestas
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De inyectividad es bueno como una primera intuición, pero desea mantener en mente que los morfismos en una categoría general no necesitan ser las funciones. Así que no sé si hay un "no algebraicas manera de" pensar acerca de ellos.
Usted realmente debe pensar en monomorphisms como morfismos que puede ser "cancelado". En particular, si una de morfismos ha dejado inversa, a continuación, se puede quedar cancelado lo que implica que es un monomorphism.
Por el camino, un monomorphism con una izquierda inversa se llama split. Pero tenga cuidado, porque, en una categoría general, no todos los monomorphisms están divididas.
Si los morfismos son funciones, entonces tiene sentido hablar de inyectividad y inyectiva morfismos son monomorphisms.
Estándar de ejemplo a tener en cuenta: la categoría de división de grupos. La proyección de $\pi: \mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{Q}/\mathbf{Z}$ no es inyectiva, pero es un monomorphism. (se puede ver por qué?)
Hurkyl
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Hay una generalización de los conceptos de elemento para el que "monomorphism" de nuevo vuelve a ser la misma cosa como "inyectiva".
Morfismos con codominio $X$ tener una buena interpretación como "elementos" de $X$ — a la hora de hacerlo, a los que llamamos "generalizada de los elementos".
La definición de monomorphism resulta ser exactamente el resultado de la toma de la definición habitual de "inyectiva" y la sustitución de 'elemento' con 'generalizada'elemento.
Esto incluso se manifiesta en los términos que se acerca de los elementos en el sentido ordinario:
- $f : X \to Y$ es monic si y sólo si $f_* : \hom(-, X) \to \hom(-, Y)$ es un monic transformación natural si y sólo si $f_* : \hom(Z,X) \to \hom(Z,Y)$ es una función inyectiva para todos los $Z$
- Si $\mathbf{C}$ es una categoría pequeña, no es un fiel functor $\mathbf{C} \to \mathbf{Set}$ que envía cada objeto $X$ para el conjunto de todas las flechas con codominio $X$. (e $f : X \to Y$ a la función dada por la composición de la con $f$)
Otra utilidad de la caracterización de monic, que tal vez puede también ser interpretado a lo largo de estas líneas, es que el $f : X \to Y$ es monic si y sólo si el siguiente es un pullback diagrama: $$\begin{matrix} X &\xrightarrow{1_X}& X \\ \ \ \ \ \downarrow{\small 1_X} & & \ \ \downarrow{\small f} \\ X &\xrightarrow{f}& Y \end{de la matriz} $$
El retroceso puede ser razonablemente interpretado como todos los pares $(x,y)$$f(x) = f(y)$, y la afirmación de que el diagrama anterior es un pullback dice que es la misma cosa como la diagonal: es decir, sólo consta de pares de $(x,x)$
