Prueba de Pérdida de la Invariancia de Lorentz en lo Finito de la Temperatura de la Teoría Cuántica de campos

Question

En el estándar de la teoría cuántica de campos siempre tomamos el vacío para ser un invariante bajo la transformación de Lorentz. Para los casos más sencillos, al menos para los campos libres, es muy simple para demostrar esto.

Ahora, considere el estado térmico a una determinada temperatura de inverso $\beta$ en un QFT, a saber, la dada por la densidad del operador $\rho = \frac{e^{-\beta H}}{Z(\beta)}$. Hay un viejo heurística argumento por el cual perdemos la covariancia Lorentz a temperatura finita: debido a que nuestro sistema está acoplado a un baño de calor tenemos un preferido marco de referencia, a saber. aquella en la que el baño de calor es estático, por lo que para garantizar el equilibrio termodinámico.

Aunque me parece que el argumento muy razonable todavía tengo que ver un detallado prueba de este hecho. Ninguno de los libros de texto (Kapusta, Le Bellac, etc...) proporcionar un rastro, ni una palabra clave de búsqueda de documentos.

¿Alguien sabe de referencia para este, o el comprobante de la misma?

Para ser muy claro, la prueba debe ser capaz de demostrar esto: dado un campo cuántico $\phi(t)$ (yo soy la supresión de coordenadas de espacio y por simplicidad), se puede definir el estado térmico como el que satisface los KMS condición

$\langle \phi(t)\phi(t')\rangle_\beta= G(t-t')=G(t'-t-i\beta)$

o en palabras, es el estado que los Verdes función es periódica (o anti-periódico para fermionic campos) en tiempo imaginario con el período de $\beta$. Ahora realiza una transformación de Lorentz para ir a las nuevas coordenadas. A continuación, la función de Green en el nuevo marco es no periódica en el tiempo imaginario. Por lo tanto, el estado dado por la densidad del operador anterior sólo es un estado térmico con temperatura de inverso $\beta$ en un solo fotograma.

Ahora yo debería estar interesada en un "elemental" a prueba, que es uno usando las herramientas habituales de QFT. Si le sucede a conocer a un medio de prueba en un más sofisticado marco, como Algebraicas QFT, agradecería que junto con la referencia que usted podría dar una breve idea detrás de la prueba.

Answer 1

Aquí está una prueba siguiente Ojima, "la Invariancia de Lorentz vs Temperatura en QFT", las Letras en la Física Matemática (1986) Vol. 11, número 1 (1986) 73-80. Las dos primeras páginas del documento están disponibles de forma gratuita aquí, pero el sitio web que quiere dinero por más que el papel. (Haga clic en la naranja "Mira Dentro" botón si el papel no se abre automáticamente.) Afortunadamente, la prueba está en la segunda página.

Definir $$w(A) = tr\bigl(e^{-\beta H} A\bigr)/tr\bigl(e^{-\beta H}\bigr).$$ Los KMS condición puede ser escrito $$w(\phi(x)\phi(y)) = w(\phi(y)\phi({\tilde x}))$$ where $\tilde x$ is $x$ with the time component shifted by $i\beta$.

Ahora considere la transformada de Fourier $$\langle\phi_k\phi_{-k}\rangle = \int d^4x d^4y\ e^{i k \cdot (x-y)} w(\phi(x)\phi(y)).$$ Por los KMS que esta condición es $$\langle\phi_k\phi_{-k}\rangle = \int d^4x d^4y\ e^{i k \cdot (x-y)} w(\phi( y)\phi({\tilde x})).$$ Shifting the time in the $x$ integral, this becomes $$e^{\beta k_0}\int d^4{\tilde x} d^4 y\ e^{i k \cdot ({\tilde x}- y)} w(\phi(y)\phi({\tilde x})) = e^{\beta k_0}\langle\phi_{-k}\phi_{k}\rangle,$$ así tenemos $$\langle\phi_k\phi_{-k}\rangle = e^{\beta k_0}\langle\phi_{-k}\phi_{k}\rangle.$$ Empezando por el lado derecho de esta ecuación, si la invariancia de Lorentz tiene, $\langle\phi_{-k}\phi_{k}\rangle$ es un escalar bajo las transformaciones de Lorentz para un campo escalar $\phi$. Sin embargo, $e^{\beta k_0}$ claramente no es un escalar de Lorentz, ya que depende no covariantly en $k_0$. Esto implica que el lado izquierdo de la ecuación anterior no es un escalar de Lorentz, contradiciendo la invariancia de Lorentz $\langle\phi_k\phi_{-k}\rangle$.

Esto demuestra que la covariancia Lorentz no pueden mantenerse finito $\beta$.

Otra forma de ver que la covariancia Lorentz se rompe a temperatura finita es la Mecha de girar a la Euclídea el espacio-tiempo. Los KMS condición implica entonces la periodicidad de la función de Green en el momento en que dirección. Transformaciones de lorenz en el espacio-tiempo real se asignan a las rotaciones en el espacio-tiempo Euclidiano por la Mecha de la rotación. Desde el periódico de las condiciones de contorno impuestas en una dirección y no a los otros tres direcciones, rotación, simetría se rompe en el espacio-tiempo Euclidiano y por lo tanto la simetría de Lorentz se rompe en el espacio-tiempo real.

Answer 2

Encuentra un boceto de una prueba en un informe del juez ponente en un papel la INVARIANCIA RELATIVISTA DE LA ASPIRADORA por Adam Bednorz.

El árbitro del boceto es:

Comentario

Cientos de cálculos en Fnite temperatura Feld teoría han sido publicado. A mi conocimiento, ninguno de estos cálculos alguna vez en conflicto con la invariancia de Lorentz en el límite de $\beta \to \infty$

Prueba Simple

En lugar de utilizar el Keldysh de contorno en la Sec V, es mucho mejor utilizar el "simétrica" de contorno en el que el tiempo corre a lo largo del eje real y a continuación, devuelve anti-paralelo al eje real, pero desplazado hacia abajo por $\beta / 2$.

Creo que esta forma de el propagador es utilizado en Refs.13 y 14 (y probablemente en muchas de las otras referencias). Es descrito en el libro Térmica de la Teoría de Campo por Michel Le Bellac, Cambridge Univ Press, 1996. A partir de la página 55 de Le Bellac la forma de la matriz del propagador es

Al $\beta \to \infty$ el segundo contorno desacopla de la primera el contorno. Los vértices no pareja los dos contornos. Esto es todo lo que es necesario para la prueba.

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creo que la respuesta más simple (aparte de la referencia que he publicado anteriormente), es que ambos (inversa) de la temperatura de $\beta$ e (real) de tiempo $t$ son tratados como imaginario veces (a través de la costumbre de la mecha-rotación), así que efectivamente la temperatura del $\beta$ es parte de la (total, imaginario) tiempo de coordenadas, además de la temperatura no puede ser negativo (cero/tercera leyes de la termodinámica). El resto de la siguiente manera (con algún tipo de argumentos como que ya hechas) así

$$\langle \phi(t)\phi(t')\rangle_\beta= G(t-t')=G(t'-t-i\beta)$$