Encontrar la cardinalidad del conjunto dado $\{f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}|f $es monótona de la función$\}$.

Question

Encontrar la cardinalidad del conjunto dado $\{f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}|f $es monótona de la función$\}$.

Mi intento:-sé que la cardinalidad del conjunto de $\{f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}|f $es una función de$\}$$\aleph_{0}^{\aleph_{0}}=2^{\aleph_{0}}=c$. Cómo encontrar la cardinalidad de este conjunto? Por favor me ayude.

Answer 1

Como usted señala, la cardinalidad es en la mayoría de las $c$. Tan sólo sabemos que necesita para demostrar que también es, al menos,$c$. Deje $A=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$, lo cual es muy conveniente conjunto de cardinalidad $c$. Entonces podemos definir una inyección de $i$ $A$ para el conjunto está interesado de la siguiente manera: para $g\in A$ definimos $i(g)$ $i(g)(x)=x$ si $x<0$ o $g(\lfloor x \rfloor)=0$, $i(g)(x)=\lfloor x \rfloor$ si $g(\lfloor x \rfloor)=1$, es decir, $i(g)$ es la identidad de $x<0$ y, a continuación, en cada intervalo de $[n,n+1)$ se trata de la identidad o de la función constante $n$ - a continuación, $i(g)$ es monotono y $i$ es una inyección para el conjunto de todas las funciones monótonas en $\mathbb{Q}$ tiene cardinalidad $c$.