Demostrar la siguiente desigualdad sin el uso de la inducción: $\frac{1}{2^k-1}\leq \sin^{2k}\theta+\cos^{2k}\theta\leq 1$

Question

Cómo demostrar la siguiente desigualdad (sin el uso de la inducción)? $$\frac{1}{2^k-1}\leq \sin^{2k}\theta+\cos^{2k}\theta\leq 1,\quad k\in\Bbb N.$$

Answer 1

para la mano Izquierda ,usamos el Titular de la desigualdad $$(\sin^{2k}{\theta}+\cos^{2k}{\theta})(1+1)^{k-1}\ge (\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})^k=1$$ así $$\sin^{2k}{\theta}+\cos^{2k}{\theta}\ge\dfrac{1}{2^{k-1}}$$ no $\dfrac{1}{2^k-1}$

Answer 2

Hemos de asumir la $k>0$ o el plazo $1/(2^k-1)$ tendría sentido. El caso de $k=1$ es trivial, por lo que asumiré $k>1$.

Considere, por $k\ge0$, la función $$ f_k(\theta)=\sin^{2k}\theta+\cos^{2k}\theta $$ que tiene plazo,$\pi/2$. Su derivada es \begin{align} f_k'(\theta) &=2k\sin^{2k-1}\theta\cos\theta-2k\cos^{2k-1}\theta\sin\theta\\[3px] &=2k\sin\theta\cos\theta(\sin^{2k-2}\theta-\cos^{2k-2}\theta)\\[3px] &=k\sin(2\theta)(\sin^{2k-2}\theta-\cos^{2k-2}\theta) \end{align} Tenemos que encontrar donde la derivada se desvanece. Lo que ocurre en $\theta=0$, e $\theta=\pi/2$ o en los puntos donde $$ \sin^{2k-2}\theta\cos^{2k-2}\theta=0 $$ es decir, $\tan\theta=\pm1$ $\theta=\pi/4$ (en el intervalo de periodicidad).

Así tenemos los puntos críticos $0$, $\pi/4$ y $\pi/2$. Tenemos \begin{align} f_k(0)&=1\\ f_k(\pi/4)&=\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2^{k-1}} \end{align} Desde $$ \frac{1}{2^k-1}<\frac{1}{2^{k-1}} $$ para $k>1$, el resultado queda demostrado.