Anillo de polinomios $\mathbb{Z}/(n)[x]$

Question

Estoy haciendo problemas en Artin sobre anillos, y en el problema 11.2.1, pregunta:

Para qué enteros positivos n hace el polinomio $x^2+x+1$ dividir $x^4+3x^3+x^2+7x+5$ en el ring $\mathbb{Z}/(n)[x]$ ?

Usando la división larga básica, encontré que el resto era $7x+7$ y como necesitamos $r(x)=0$ para la divisibilidad, supongo que necesitamos un anillo tal que $7$ es equivalente a cero (¿identidad aditiva?) La cuestión es que nuestro profesor no repasó realmente los anillos de polinomios aparte de las definiciones básicas, así que todavía no tengo claro este punto.

Sin embargo, mi pregunta final es que, dado que $(n)$ es el ideal generado por $n$ ¿Cuáles son los elementos de $\mathbb{Z}/(n)[x]$ ? Me cuesta ver cuáles son los coeficientes.

Answer 1

Bueno, un ideal es sólo un anillo, así que todo lo que sepas sobre anillos polinómicos sobre anillos se aplica, y tu respuesta es correcta. En cuanto al látex, véase http://www.andy-roberts.net/writing/latex

Answer 2

Tu explicación me parece buena. Por el algoritmo de la división, $$x^4 + 3 x^3 + 7 x + 5 = (x^2 + 2 x - 2 ) ( x^2 + x + 1) + 7x + 7,$$ por lo que tendremos divisibilidad cuando $7x+7=0$ en $\mathbb{Z}/(n)[x]$ . Así que ve a la definición. Los polinomios son iguales cuando sus coeficientes son iguales. Así que debemos tener $7=0$ en $\mathbb{Z}/(n)$ que se cumple si y sólo si $n=7$ .