Una existencia de la solución general de la ecuación diferencial de primer orden

Question

Deje $f: (a,b) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ser de clase $C^1$ $D:=(a,b) \times \mathbb{R}$ y satisface la condición $$| f(t,x)| \leq A+B|x| \textrm{ for } (t,x) \in D,$$ where $a,B$ are fixed real constants and let $t_0 \in (a,b)$.

Cómo probar usando el método de punto fijo que para arbitrario $x_0\in \mathbb{R}$ no existe exactamente una solución de $x: (a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ de la ecuación diferencial $$\frac{dx}{dt}=f(t,x)$$ with condition $x(t_0)=x_0$ ?

Gracias.

Añadido.

Tal vez sería. Deje $X=\{x:(a,b) \rightarrow \mathbb{R}: \sup_{t\in (a,b)} e^{-B\gamma|t-t_0|} |x(t)| <\infty, x(t_0)=x_0 \}$, $d(x,y)=\sup_{t\in (a,b)} e^{-B\gamma|t-t_0|} |x(t)-y(t)|$ $x,y \in X$ donde $\gamma$ es un constante positiva. A continuación, $(X,d)$ es un espacio métrico completo y $Tx(t):=x_0+\int_{t_0}^t f(s,x(s))ds$$x \in X$$t\in (a,b)$, mapas de X en sí mismo (debido a que $|f(s,x(s))|\leq A+Be^{B\gamma|t-t_0|}\cdot sup_{t\in (a,b)} |x(s)|e^{-B\gamma|t-t_0|} |x(t)|$$| \int_{t_0}^t e^{B \gamma |s-t_0|} ds| \leq \frac{1}{B \gamma} e^{B\gamma|t-t_0|}$). Sin embargo no sé es $T$ una contracción con algunos $\gamma>0$ o no y si cada solución de la ecuación diferencial pertenece a $X$.

Answer 1

Por la Picard-Lindelof teorema no hay una única solución local, y es global, si usted puede demostrar que la solución no volar. El último es fácil demostrar mediante el dado por el límite de f.

Es decir, tenemos $$\frac12\frac{dx^2}{dt}=xf(x,t)\leq |x|(a+B|x|)\leq A+(a+B)x^2,$$ dando una exponencial obligado en $x^2$.