Es esta secuencia convergente? Si es así, entonces, ¿cómo encontrar el límite?

Question

Para cada número natural $n$, vamos $$ x_n \colon= \frac{1}{\sqrt{n}} \left( \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}}+ \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} \right). $$

Es, pues, la secuencia de $\left( x_n \right)_{n \in \mathbb{N} }$ convergente? Y si es así, entonces, ¿cómo encontrar el límite de esta sucesión?

No estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

METODOLOGÍA DE $1$: USO CREATIVO TELESCÓPICA

desde $\frac12(\sqrt {k-1}+\sqrt k)\le \sqrt k\le \frac12(\sqrt {k+1}+\sqrt k)$, se puede utilizar creativo telescópica para escribir

$$\sum_{k=1}^n2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt k\right)\le\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt k}\le 1+\sum_{k=2}^n 2\left(\sqrt k-\sqrt{k-1}\right)$$

La evaluación de la antena telescópica de términos revela

$$2(\sqrt {n+1}-1)\le \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt k}\le 2\sqrt n-1$$

de dónde dividiendo por $\sqrt n$ y aplicando el teorema del sándwich se obtiene el resultado

$$\lim_{n\to \infty }\frac1{\sqrt n}\sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt k}=2$$

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METODOLOGÍA DE $2$: APLICAR STOLZ-CESARO

El uso de la Stolz-Cesaro Teorema, nos encontramos con que

$$\begin{align} \lim_{n\to \infty}\frac{\sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt k}}{\sqrt n}&=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{\frac1{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\right)\\\\ &=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{\sqrt n}{\sqrt{n+1}}\right)\\\\ &=2 \end{align}$$

Answer 2

Esta secuencia hace converger. Para cada entero positivo $n$, ya que el $x \mapsto 1/\sqrt{x}$ está disminuyendo, tenemos $$ \int_0^{n} \frac{dx}{\sqrt{x}} > \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} >\int_1^{n+1} \frac{dx}{\sqrt{x}} \\ 2 \sqrt{n} > \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} >2 (\sqrt{n+1}-1) \\ 2 >\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} >2\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \2 $$ como $n \to \infty$.