Cuando es correcto para el tratamiento diferencial(por ejemplo,$dx$) como regular el número de

Question

Muchas veces he visto que la gente de la banda de rodadura de los diferenciales como números regulares. Por ejemplo, multiplicar o dividir. E. g. a continuación se muestra la multiplicación de $\frac{df(x)}{d (x^2)}$ $\frac{1/dx}{1/dx}$

$$\frac{df(x)}{d (x^2)} = \frac{df(x)/dx}{d(x^2)/dx} = \frac{1}{2 x} \frac{df(x)}{dx}$$

Mi pregunta es cuando es legal hacer tales cosas? Siempre que en algunos casos concretos? Hay algunos formal de las teorías que formalizar este buen truco?

Answer 1

Los símbolos $dx$, $dy$, etc. puede ser pensado como "infinitesimals," que es la forma de Newton del pensamiento de estos (a grandes rasgos). Como el artículo de abajo de los estados, un riguroso enfoque de infinitesimals se llevó a cabo en la década de 1960.

http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/infincalc.htm

Hay muchas otras referencias; sólo la búsqueda no estándar de análisis.

Y para responder a la pregunta original, mientras que el tratamiento de $dx$ como un número distinto de cero menor que cualquier número real y tal que $(dx)^2$ es equivalente a $0$ cuando se toma sumas de dinero, usted puede conseguir lejos con la construcción mostraron en su pregunta.

Por ejemplo, si $f(x) = x^2$, luego

$$df = (x+dx)^2 - x^2 = x^2 + 2xdx + (dx)^2 - x^2 \equiv 2xdx$$

Answer 2

Usted tiene la regla de la cadena $\frac{\mathrm d (f\circ g)}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm df}{\mathrm dg}\frac{\mathrm dg}{\mathrm dx}$, lo que le da $\frac{\mathrm df}{\mathrm dg} = \frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\left(\frac{\mathrm dg}{\mathrm dx}\right)^{-1}$ siempre $f,\ g\in C^1$ (y posiblemente alguna otra hipótesis sobre la derivada de g en x).

Answer 3

He dicho esto antes, pero funciona porque la derivada es el límite de un cociente de 2 números muy pequeños. Así, los números pueden ser maniuplated, por lo que el $dy$ $dx$ representan pequeñas cantidades. Pero la derivada es sólo eso, y la notación $dy/dx$ es un mnemónico. Es un testamento a la claridad de pensamiento detrás de esta notación que la Regla de la Cadena se asemeja a la cancelación, con lo que haciendo cálculos mucho más fácil para las nuevas generaciones de estudiantes.