En el caso especial de que el espacio muestral es de los enteros no negativos (o un subconjunto de los mismos), uno puede pensar en una distribución de probabilidad como una función de la generación de $f(x) = \sum_{n \ge 0} a_n x^n$ donde$a_n \ge 0$$f(1) = 1$. Entonces la suma de variables aleatorias se corresponde con el producto de las funciones de generación, así que uno puede traer a la generación de la función de las técnicas (véase, por ejemplo, Wilf) para influir en las variables aleatorias. Por ejemplo, es especialmente fácil para calcular los valores esperados de esta manera: el valor esperado es $f'(1)$, y el producto de la regla expresa el hecho de que el valor esperado es aditivo. Del mismo modo, la varianza es $f''(1) + f'(1) - f'(1)^2$.
Yo no sé realmente un lugar donde estos temas se discuten en detalle, pero uno espectacular de la familia de los ejemplos es el cálculo de los valores esperados y varianzas de determinadas estadísticas en permutaciones. Por ejemplo, supongamos que queremos calcular el número esperado de puntos fijos que una permutación de $n$ elementos. Por Burnside del lema, la respuesta es $1$. Pero otra manera de hacer este cálculo para la construcción de la familia de polinomios
$\displaystyle P_n(x) = \frac{1}{n!} \sum_{\pi \in S_n} x^{c_1(\pi)}$
donde $c_1(\pi)$ es el número de puntos fijos. A continuación, el número que queremos es $P_n'(1)$. Resulta que se pueden calcular todos estos números, al mismo tiempo, debido a la bivariante de generación de función es
$\displaystyle P(x, y) = \sum_{n \ge 0} P_n(x) y^n = \frac{1}{1 - y} \exp \left( xy - y \right).$
Entonces la familia de los números que desea es $\frac{\partial}{\partial x} P(x, y)$ evaluado en $x = 1$, que (como no es difícil de comprobar) es $\frac{1}{1 - y}$. De hecho, esto es cierto para la segunda derivada y todos los derivados y, en particular, la varianza del número de puntos fijos también es $1$.
Lo que si queremos saber el número esperado y la varianza de, por ejemplo, el número total de ciclos? Ahora queremos ver a la familia de polinomios
$\displaystyle Q_n(x) = \frac{1}{n!} \sum_{\pi \in S_n} x^{c(\pi)}$
donde $c(\pi)$ es el número total de ciclos. A continuación, el número que queremos es $Q_n'(1)$. Ahora resulta que la bivariante de generación de función es
$\displaystyle Q(x, y) = \sum_{n \ge 0} Q_n(x) y^n = \frac{1}{(1 - y)^x}$
(que debe ser interpretado como $\exp \left( x \log \frac{1}{1 - y} \right)$). La derivada parcial $\frac{\partial}{\partial x} Q(x, y)$ evaluado en $x = 1$ es ahora
$\displaystyle \frac{1}{1 - y} \log \frac{1}{1 - y} = \sum_{n \ge 1} H_n y^n$
donde $H_n$ $n^{th}$ número armónico. Así, el número esperado de ciclos de una permutación de $n$ elementos es acerca de $\log n$. (En realidad, resulta que el número esperado de ciclos de longitud $r$$\frac{1}{r}$, a partir de la cual este resultado se sigue inmediatamente.) La segunda derivadas parciales evaluadas en $x = 1$ es
$\displaystyle \frac{1}{1 - y} \log^2 \frac{1}{1 - y} = \sum_{n \ge 1} G_n y^n$
donde $\displaystyle G_n = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} H_{n-k}$; no estoy seguro de la asintótica de crecimiento de esta secuencia, aunque, pero sea lo que sea, la variación del número total de ciclos es $G_n + H_n - H_n^2$. (En cualquier caso,$G_n \le H_n^2$, por lo que la varianza es menor o igual a $H_n$, y este es, probablemente, sobre el derecho asintóticamente.) Uno puede deducir que asymptotics para este tipo de secuencias utilizando métodos tales como aquellos en Flajolet y Sedgewick de la Analítica de la Combinatoria, la cual es mi mejor opcion para más ejemplos de utilización de las funciones de generación de esta manera. Probablemente hay ejemplos no relacionadas con las estadísticas de los árboles.
Toda la generación de la función de identidades he utilizado anteriormente son una consecuencia de la fórmula exponencial, una versión de lo que está probado y discutido en este blog.
