Supremum más compacta rango converge a cero

Question

Supongamos $f\in C^\infty(\mathbb{R})$ compacta está apoyado en $[-N,N]$, e $K\in L^1(\mathbb{R})$$\int_\mathbb{R}K(x)dx=1$. Definir $$K_t(x)=\dfrac{1}{t}K\left(\dfrac{x}{t}\right)$$

De ello se deduce fácilmente que el $\int_\mathbb{R}K_t(x)=\int_\mathbb{R}K(x)dx=1$.

Estoy en el proceso de la prueba de la convergencia, y me pregunto si podemos demostrar que $$\lim_{t\rightarrow 0}\left(\sup_{|x|\leq N+1}\left|\int_{-\infty}^\infty(f(x-y)-f(x))K_t(y)dy\right|\right)=0 $$

Answer 1

Deje $\epsilon >0$. Entonces no es $M>0$ tal que $\int_{|x|\geq M} |K| < \epsilon$$K$$L^1$. Que es

$$ \int_{|x| \geq tM} |K_t| < \epsilon\ .$$

Escribir

$$\int_\mathbb{R} \big(f(x-y) - f(x)\big) K_t(y) dy = \int_{|y|< tM} + \int_{|y|\geq tM}\big(f(x-y) - f(x)\big) K_t(y) dy$$

Como $f$ es uniformemente continua, no es $\delta >0$ tal que

$$|f(x-y) - f(x)|< \epsilon,\ \ \forall x\in \mathbb R,\ \ \forall |y| < \delta\ .$$

En particular, si $t < \delta /M$, luego

$$\bigg|\int_{|y| < tM}\big(f(x-y) - f(x)\big) K_t(y) dy\bigg| < \epsilon \ ||K||_1$$

mientras que el segundo término es delimitada por

$$2||f||_0 \int_{|y|\geq tM} |K_t| < 2||f||_0\epsilon\ ,$$

Así

$$\bigg| \int_\mathbb{R} \big(f(x-y) - f(x)\big) K_t(y) dy \bigg| < (2||f||_0 + ||K||_1) \epsilon$$

para todos los $x$, y para todos los $t \leq \delta /M$. Por lo tanto

$$\lim_{t\to 0} \bigg(\sup_x \bigg|\int_\mathbb{R} \big(f(x-y) - f(x)\big) K_t(y) dy\bigg|\bigg) = 0\ .$$

Tenga en cuenta que sólo tenemos que $f\in C^0_c(\mathbb{R})$ $\int K =1$ no se utiliza.