Peso relativo de los conceptos e ideas matemáticas.

Question

Mi pregunta tiene sus raíces en la siguiente pregunta que había formulado anteriormente:

Prove that the sum of digits of $(999...9)^{3}$ (cubo de un entero con $n$ dígitos $9$) es $18n$

Ahora, mientras revisaba algunos textos clásicos sobre Teoría de Números, me encontré con la afirmación de que resultados como la suma de dígitos de un número son de naturaleza trivial y no se estudian con demasiado rigor.

De manera similar, los libros de trigonometría a menudo sugieren que la versina y cubersina son razones de mucha menos importancia que se pueden "omitir".

A menudo me pregunto qué lleva a tales afirmaciones en matemáticas, donde se atribuye cierto nivel de importancia relativa a algunos temas, teoremas o identidades mientras que se hace solo un comentario superficial sobre otros. ¿Existe alguna forma formal de identificar o medir qué es de importancia significativa y vale la pena investigar en matemáticas y qué no lo es?

Un contraejemplo podría ser el último teorema de Fermat y su demostración. La afirmación en sí misma puede parecer trivial y carecer de aplicaciones prácticas, pero aún así ha sido investigada rigurosamente por matemáticos durante siglos.

En resumen, ¿cómo evaluamos el "valor" relativo de las innumerables ideas matemáticas? Sumándose a esto, ¿tenemos alguna jerarquía mediante la cual podamos cuantificar el peso relativo de varios conceptos?

Answer 1

Puede ser imposible evaluar las futuras aplicaciones prácticas de un resultado matemático. Baso esto en algunos ejemplos:

El Teorema del Punto Fijo de Brouwer para explicar la causa de algunas instancias de fibrilación cardíaca (una condición médica, rápidamente fatal si no se trata de inmediato).

Algunos resultados sobre el empaquetamiento más cercano de n-esferas (el Problema de Kepler en dimensiones superiores) tienen aplicaciones en el diseño de sistemas de transmisión de datos eficientes que tienen detección/corrección de errores en ellos.

Un teorema en la Teoría de Nudos que tiene una interpretación en la termodinámica estadística. (Ver el libro "Enredos" de Kaufmann.)

La teoría de los espacios de Hilbert es indispensable en la mecánica cuántica. El físico Erwin Schrödinger redescubrió bastante de ella con su "mecánica matricial", inicialmente sin saber que estaba encontrando una nueva aplicación para algunas matemáticas previamente desarrolladas.

La teoría básica de números como base para la criptografía moderna. El gran teórico de números G.H. Hardy (en "La Apología de un Matemático") escribió (orgullosamente, creo): "Nada de lo que he hecho alguna vez tiene algún uso". Creo que esto lo quería decir en el sentido de que una sonata no tiene "uso".