Simplificar la expresión (combinación y factorial)

Question

Simplifica la siguiente expresión:

$\binom{n+1}{3} * \frac{(n-1)! + (n-2)!}{(n+1)!}$

Mi intento:

$\binom{n+1}{3} * \frac{(n-1)! + (n-2)!}{(n+1)!} = \frac{(n+1)!}{3!(n+1-3)!} * \frac{(n-1)! + (n-2)!}{(n+1)!} = \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!} * \frac{(n-1)! + (n-2)!}{(n+1)!}$

y aquí es donde me quedo atascado... ¿Cómo continuar?

Cuando pongo $\binom{n+1}{3} * \frac{(n-1)! + (n-2)!}{(n+1)!}$ en Wolframio Alfa lo simplifica: $\frac{n}{6}$

Cuando pongo $\frac{(n+1)!}{3!(n+1-3)!} * \frac{(n-1)! + (n-2)!}{(n+1)!}$ en Wolframio Alfa lo simplifica: $\frac{1}{6} * (n^{3} - n +1)$

Answer 1

Bueno, para empezar puedes cancelar los dos $(n+1)!$ de la parte superior e inferior de la fracción.

También hay que tener en cuenta que $(n-1)! = (n-1)((n-2)!)$ y luego puedes cancelar una $(n-2)!$ de la parte superior e inferior.

Answer 2

¡Oh, lol!

$\binom{n+1}{3} * \frac{(n-1)! + (n-2)!}{(n+1)!} = \frac{(n+1)!}{3!(n+1-3)!} * \frac{(n-1)! + (n-2)!}{(n+1)!} = \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!} * \frac{(n-1)! + (n-2)!}{(n+1)!} = \frac{(n-1)! + (n-2)!}{3!(n-2)!} = \frac{(n-2)!((n-1) + 1)}{3!(n-2)!}=\frac{n}{3!} = \frac{n}{6}$

¿Correcto?)

¿Cómo es que Wolfram Alpha da dos resultados diferentes?

Answer 3

$$n/6$$ como ${n+1\choose 3}$ puede reducirse a $(n+1)(n)(n-1)/3!$ Ahora $(n+1)(n)(n-1)$ se cancela del denominador y el $(n-2)!$ también se cancela, así que nos quedamos con $(n-1) + 1$ numerador y $3!$ denominador. Así que la respuesta es $n/6 $ .

Answer 4

Debes haber cometido un error de imprenta con tu segunda entrada en WA. Para confirmar su primera respuesta: \begin {alinear} \require {cancelación} \binom {n+1}{3} \cdot\frac {(n-1)!+(n-2)!}{(n+1)!}&= \frac { \cancel {(n+1)!}}{3!(n-2)!} \cdot\frac {(n-1)!+(n-2)!}{ \cancel {(n+1)!}} \\ [1em] &= \frac {(n-1)!+(n-2)!}{3!(n-2)!} \\ [1em] &= \frac { \cancel {(n-2)!} \cdot [(n-1)+1]}{3! \cancel {(n-2)!}} \\ [1em] &= \frac {n}{3!} \\ [1em] &= \frac {n}{6} \end {alinear} Esto verifica su primera simplificación por parte de WA. Allí debe han sido un error de imprenta en la segunda.